Практическое занятие. Элементы математической логики

Цель работы: закрепление знаний о логических высказываниях, константах, переменных и функциях, элементарных логических операциях; научиться строить таблицу истинности по заданному выражению и логическое выражение по таблице истинности.

Содержание и порядок работы:

1. Знакомство с приемами решения задач;

2. Решение задач для самостоятельной работы;

3. Оформление отчета о проделанной работе.

Знакомство с приемами решения задач

1. Понятие высказывания

Высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, т.е. каждое высказывание или истинно, или ложно и не может быть одновременно и истинным, и ложным.

Высказывания обозначаются прописными буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А – истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А – ложно».

Пример 1:

А = Москва – столица России = 1 – истинное высказывание.

В = Санкт-Петербург – столица России = 0 – ложное высказывание.

С = Некоторые из учеников любят информатику = 1 – истинное высказывание.

2. Основные логические операции над высказываниями

1. Логическое отрицание (инверсия – от лат inversio - переворачивать) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «НЕ» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…». Обозначение инверсии: НЕ А, ⌐А, Ā, NOT А.

Пример 2: А = Завтра пойдет дождь. Отрицанием является Ā = Завтра не пойдет дождь.

2. Конъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и». Обозначение конъюнкции: А и В, А ∧ В, А & B, А ∙ В, А and В.

Пример 3: А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули». А ∧ В = На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

3. Дизъюнкция образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Обозначение конъюнкции: А или В, А ∨ В, А ׀ B, А or В.

Пример 4: А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули». А ∨ В = На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».

4. Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то …». Обозначение импликации: А →B, А В.

Пример 5: А = На улице идет дождь. В = Асфальт мокрый. А  В = Если на улице идет дождь, то асфальт мокрый.

5. Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «… тогда и только тогда, когда …». Обозначение эквивалентности: А  B, А  В, А  B.

Пример 6: А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3. А  В = Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится нацело на 3.

Правила выполнения рассмотренных логических операций отражены в следующей таблицей, которая называется таблицей истинности.

Таблица истинности

А	В	Ā	А ∧ В	А ∨ В	А В	А  B
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	0	0	0
1	1	0	1	1	1	1

Если несколько простых высказываний объединены в одно с помощью логических операций, то такое высказывание называется сложным.

При вычислении значения логического выражения (формулы) логических операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету.

1. инверсия

2. конъюнкция

3. дизъюнкция

4. импликация и эквивалентность.

Пример 7: в формуле А ∨ В  С ∧ Д  Ā порядок вычисления:

1. Ā – инверсия;

2. С ∧ Д – конъюнкция;

3. А ∨ В – дизъюнкция;

4. А ∨ В  С ∧ Д – импликация;

5. А ∨ В  С ∧ Д  Ā – эквивалентность.