Логические константы, переменные и функции
Два элемента алгебры логики – константы – обозначаются 0 и 1 (ложь и истина – false и true), т.е. логический 0 и логическая 1. Алгебра логики оперирует логическими переменными, которые могут принимать только два значения ложь и истина – false и true:
.
Логической функцией F от набора логических переменных x1, x2, ..., xn называется функция, которая может принимать только два значения: логический 0 и логическая 1.
Область определения логической функции конечна и зависит от количества возможных наборов аргументов. Если n – число аргументов, то количество возможных наборов аргументов равно 2n. Множество значений функции F(x1, ..., xn) – это множество {0, 1}, т.е. F = 0 либо 1.
Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записываются наборы аргументов, а в правой – соответствующие значения функции.
x1 |
x2 |
... |
xn-1 |
xn |
F(x1, x2, ..., xn-1, xn) |
0 |
0 |
... |
0 |
0 |
F(0, 0, ..., 0, 0) |
0 |
0 |
... |
0 |
1 |
F(0, 0, ..., 0, 1) |
0 |
0 |
... |
1 |
0 |
F(0, 0, ..., 1, 0) |
|
|
... |
|
|
... |
1 |
1 |
... |
1 |
1 |
F(1, 1, ..., 1, 1) |
Всего может быть 22n логических функций n переменных. Для большого числа аргументов таблица становится громоздкой.
Пример 7. Две переменные, каждая из которых может быть либо нулем, либо единицей, образуют 22 = 4 различных набора значений: (0, 0); (0, 1), (1, 0), (1, 1). На каждом наборе функция принимает значение либо 0, либо 1. Так как каждая функция двух переменных однозначно задается четырьмя значениями, каждое из которых равно либо 0, либо 1, то количество таких функций будет равно количеству комбинаций этих четырех значений. Таких комбинаций 24 = 16, т.е всего существует 16 различных функций двух переменных.
Построение таблиц истинности сложных высказываний
Значение сложного высказывания определяется по таблице истинности.
Алгоритм построения таблицы истинности сложного высказывания:
Вычислить количество строк и столбцов таблицы истинности. Пусть сложное высказывание состоит из п простых. Тогда количество строк в таблице истинности равно 2п плюс 2 строки заголовка. Количество столбцов в таблице равно сумме количества переменных (п) и количества логических операций, входящих в сложное высказывание.
Начертить таблицу и заполнить заголовок. В первой строке заголовка записываем номера столбцов, во второй – переменные и промежуточные формулы в соответствии с приоритетом логических операций и в скобках условные записи операций над значениями пар столбцов, содержащие номера этих столбцов.
Заполнить первые столбцы, соответствующие переменным. Количество строк со значениями переменных равно 2п. При заполнении учитывают все возможные комбинации значений переменных и никакие две не совпадают.
Заполнить остальные столбцы, соответствующие промежуточным формулам. Значения промежуточных формул определяем в соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций, причем при заполнении каждого столбца операции выполняются над значениями одного или двух столбцов, расположенных левее заполняемого.
Пример 8. Построить таблицу
истинности для высказывания
.
Вычислим количество строк и столбцов таблицы истинности. В высказывание Е входят 3 переменные: А, В, С (п = 3) и 4 логические операции: инверсия В, инверсия С, дизъюнкция, импликация. Имеем 23 + 2 = 10 строк и 3 + 4 = 7 столбцов.
Начертим таблицу и заполним заголовок.
Заполним первые 3 столбца. Количество строк со значениями переменных равно 8.
8:2 = 4: в 1-м столбце чередуем 4 нуля и 4 единицы.
4:2 = 2: во 2-м столбце чередуем 2 нуля и 2 единицы.
2:2 = 1: в 3-м столбце чередуем 1 ноль и 1 единицу.
Таким образом, все возможные комбинации значений переменных учтены и никакие две не совпадают. Фактически такое заполнение столбцов соответствует двоичной записи чисел от 0 до 7.
Заполним остальные столбцы. Столбцы с 4-го по 7-й заполняем в соответствии с таблицами истинности соответствующих логических операций.
Действуя по этому алгоритму, получим для нашего высказывания следующую таблицу:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
A |
B |
C |
(2) |
(3) |
(1)
(4) |
(6) (5) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
