Оценка надежности систем с последовательным соединением элементов
В практических задачах условия , допускающие возможность аналитического подхода , не всегда выполняются. Для оценки показателя эффективности в общем случае целесообразно воспользоваться методом статистического моделирования.
В
дальнейшем проиллюстрируем рассмотренный
подход для оценки надежности системы
из двух последовательно соединенных
элементов. Предположим, что один элемент
имеет экспоненциальное распределение
с интенсивностью
, а другой распределение Вейбулла, для
которого параметр масштаба принят
равным
и параметром формы
.
Выборки реализаций равномерно
распределенных случайных величин для
первого U и второго V
элементов представлены на рис. 1 [ 9 ].
Переход к выборкам D и T, отвечающим принятым законам распределения производился по соотношениям
Результаты расчетов представлены на рис. 1
Рис. 1 Выборки реализаций случайных значений времени безотказной работы элементов устройства.
Представленные
выборки характеризуют время работы
соответствующих элементов до отказа.
Очевидно время работы системы из двух
последовательно соединенных элементов
будет определяться минимальным временем
работы любого из рассматриваемых
элементов. Выбирая в каждой строчке
матриц D и T
минимальное значение времени, получим
выборку, характеризующую время работы
агрегата, состоящего из двух элементов.
В дальнейшем область изменения времени
работы до отказа разбивается на 10 равных
интервалов длиной
=5
и составляется статистический ряд
распределения частот, определяемый
количеством попаданий элементов выборки
в соответствующие интервалы
:
По данным этого ряда вычисляется оценки математического ожидания M и дисперсии D распределения минимальных значений времени работы устройства:
Для
аппроксимации плотности распределения
минимальных значений наработки до
отказа воспользуемся усеченным в нуле
нормальным распределением Расчет
выравнивающих частот
, соответствующих этому распределению
представлен на рис. 2
Рис. 2 Расчет выравнивающих частот N для распределения времени безотказной
работы.
Проверка соответствия принятого закона рапреднления статистическим данных осуществлялась по критерию Пирсона [ 9 ]
Квантили - распределения представлены в табл..1
Квантили распределения
Таблица 1
k |
|
||||||||||||
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,90 |
0,8 |
0,7 |
0,50 |
0,3 |
0,20 |
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
|
1 |
0 |
0,001 |
0,004 |
0,02 |
0,06 |
0,15 |
0,45 |
1,07 |
1,64 |
2,71 |
3,84 |
5,41 |
6,64 |
2 |
0,02 |
0,04 |
0,10 |
0,21 |
0,45 |
0,71 |
1,38 |
2,41 |
3,22 |
4,60 |
5,99 |
7,82 |
9,21 |
3 |
0,11 |
0,18 |
0,35 |
0,58 |
1,00 |
1,42 |
2,37 |
3,66 |
4,64 |
6,25 |
7,82 |
9,84 |
11,34 |
4 |
0,30 |
0,43 |
0,71 |
1,06 |
1,65 |
2,20 |
3,36 |
4,88 |
5,99 |
7,78 |
9,49 |
11,67 |
13,28 |
5 |
0,55 |
0,75 |
1,14 |
1,61 |
2,34 |
3,00 |
4,35 |
6,06 |
7,29 |
9,24 |
11,1 |
13,39 |
15,09 |
6 |
0,87 |
1,13 |
1,63 |
2,20 |
3,07 |
3,83 |
5,35 |
7,23 |
8,56 |
10,6 |
13,0 |
15,03 |
16,81 |
7 |
1,24 |
1,56 |
2,17 |
2,83 |
3,82 |
4,67 |
6,35 |
8,38 |
9,80 |
12,0 |
15,0 |
16,62 |
18,48 |
8 |
1,64 |
2,03 |
2,73 |
3,49 |
4,59 |
5,53 |
7,34 |
9,52 |
11,0 |
13,4 |
15,5 |
18,17 |
20,10 |
9 |
2,09 |
2,53 |
3,32 |
4,17 |
5,38 |
6,39 |
8,34 |
10,7 |
12,2 |
14,7 |
16,9 |
19,68 |
21,70 |
10 |
2,56 |
3,06 |
3,94 |
4,86 |
6,18 |
7,27 |
9,34 |
11,8 |
13,4 |
16,0 |
18,3 |
21,20 |
23,20 |
11 |
3,05 |
3,61 |
4,58 |
5,58 |
6,99 |
8,15 |
10,3 |
12,9 |
14,6 |
17,3 |
19,7 |
22,60 |
24,70 |
12 |
3,57 |
4,18 |
5,23 |
6,30 |
7,81 |
9,03 |
11,3 |
14,0 |
15,8 |
18,5 |
21,0 |
24,10 |
26,20 |
13 |
4,11 |
4,76 |
5,89 |
7,04 |
8,63 |
9,93 |
12,3 |
15,1 |
17,0 |
19,8 |
22,4 |
25,50 |
27,70 |
Невысокий уровень доверия к гипотезе о соответствии закона распределения минимальных значений усеченному нормальному распределению объясняется малым объемом статистических данных.
При
проведении расчетов параметры закона
распределения
и
определялись в результате решения
системы алгебраических уравнений
Уравнения решались графическим методом. Проведение расчетов по определению m и представлено на рис. 3
Рис. 3 Оценка параметров распределения и
При построении графиков были приняты следующие обозначения:
Y(r) –
статистическая оценка дисперсии;
статистическая
оценка математического ожидания;
зависимость
дисперсии от параметра
для m= --6; D(r)
– зависимость математического ожидания
от параметра
для
.
Гистограмма распределения статистических
частот T(s)
и кривая выравнивающих частот
приведена на рис. 4
Рис. 4 Статистическая гистограмма Т(s) и кривая выравнивающих частот
времени безотказной работы.
Характер изменения вероятности
безотказной работы системы по времени
ее функционирования , соответствующие
точному решению
и полученному по методу статистического
моделирования H(t)
представлены на рис. 5
Рис. 5 Изменение надежности системы, рассчитанной по точному P( ) и эмпирическому H(t) распределениям.
Как видно из графика результаты, полученные по методу статистического моделированию, удовлетворительно согласуются с точным решением. Очевидно с увеличением числа испытаний точность получаемых результатов будет возрастать. Обычно при использовании метода статистических испытаний оказывается достаточно порядка 250 реализаций параметров работоспособности устройства.