Применение теоремы Гаусса

Являясь (вкупе с уравнением о нулевой циркуляции электрического поля) основным полевым уравнением электростатики (вместе эти два уравнения в дифференциальной форме эквивалентны уравнению Пуассона — основному и единственному дифференциальному уравнению классической теории для электростатического потенциала.

В электродинамике теорема Гаусса (закон Гаусса) также остается (полностью в том же виде) одним из главных уравнений — одним из четырех уравнений Максвелла.

В некоторых ситуациях теорема Гаусса может быть использована для прямого и легкого вычисления электростатического поля непосредственно. Это ситуации, когда симметрия задачи позволяет наложить на напряженность электрического поля такие дополнительные условия, что вместе с теоремой Гаусса этого хватает для прямого элементарного вычисления (без применения двух обычных общих способов — решения уравнения в частных производных или лобового интегрирования кулоновских полей для элементарных точечных зарядов).

Именно таким способом с использованием теоремы Гаусса может быть выведен и сам закон Кулона (см. выше).

Конкретные примеры такого применения теоремы Гаусса разобраны здесь ниже.

В них используются следующие величины и обозначения:

• Объёмная плотность заряда

где dV — (бесконечно малый) элемент объема,

• Поверхностная плотность заряда

где dS — (бесконечно малый) элемент поверхности.

• Линейная плотность заряда

где dl — длина бесконечно малого отрезка. (Первая используется для зарядов, непрерывно распределенных по объему, вторая — для распределенных по поверхности, третья — для распределенных по одномерной линии (кривой, прямой).

[Править] Расчет напряженности поля сферически симметричного распределения заряда

Способ расчета с помощью теоремы Гаусса для любого сферически симметричного распределения заряда в целом сводится к тому, что описано выше для случая точечного заряда (см. параграф о законе Кулона).

Отметим тут только в отношении неточечных источников обладающих сферической симметрией вот что (всё это является очевидными следствиями применения описанного там метода):

1. Сферически симметричный заряд с концентрической сферической пустотой (или незаряженной областью) в середине, не создает внутри этой пустоты поля (напряженность поля там равна нулю).

2. Вообще поле на расстоянии r от центра создается только теми зарядами, которые находятся глубже к центру. Это поле можно рассчитать по закону Кулона: E = KQ / r², только под Q здесь следует понимать суммарный заряд шаровой области радиусом r (а это означает, что зависимость от r в итоге отличается от кулоновской, поскольку с ростом r растет Q, по карйней мере пока r не больше радиуса всей заряженной области — если только она в свою очередь конечна).

3. При r, больших радиуса заряженной области (если он конечен), выполняется самый обычный закон Кулона (как для точечного заряда). Это объясняет, например, почему обычный закон Кулона работает для равномерно заряженных шаров, сфер, планет со структурой близкой к сферически симметричной даже вблизи их поверхности (например, почему вблизи поверхности Земли гравитационное поле достаточно близко к полю точечной массы, сосредоточенной в центре Земли).

4. В интересном частном случае равномерно заряженного шара, его электрическое (или гравитационное) поле оказывается внутри шара пропорциональным расстоянию до центра.^[21]