4.2.2. Метод последовательных приближений (метод простой итерации)

Основная идея метода состоит в следующем.

Предположим, что уравнение вида:

F(X)=0 (4.5)

преобразовано к виду: X=f(Х). (4.6)

Пусть X⁽⁰⁾ является исходным приближенным значением корня. Тогда в качестве первого приближения примем X⁽¹⁾=f(X⁽⁰⁾),

в качестве второго  X⁽²⁾=f(X⁽¹⁾) и так далее.

Основная расчетная формула в таком случае имеет вид:

X⁽ⁿ⁾=f(X^(n-1)). (4.7)

Условия сходимости этого метода: если |f(X)|<1 процесс решения сходится, если же |f(X)|>1, то процесс расходится.

В общем случае для всякого уравнения (4.5.) можно найти несколько вариантов преобразования к виду (4.6). Но нужно с большой осторожностью подходить к конкретному выбору, так как от него зависит сходимость метода итераций.

Процесс итераций следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений X^(n-1) и X⁽ⁿ⁾ не будет обеспечено выполнение неравенства:

(4.8)

где q находится в следующей зависимости:

|f’(X)|q<1. (4.9)

При этом всегда будет выполнено неравенство

где   заданная предельная абсолютная погрешность корня .

Если q0,5, то и вместо (8.18) можно пользоваться более простым соотношением:

(4.10)

при выполнении, которого также будет обеспечена заданная точность.

Для приведения уравнения (4.5) к виду (4.6) можно применить общий прием, обеспечивающий выполнение неравенства сходимости (4.9).

Пусть 0<m₁F(X)M₁ при AXB, (4.11)

где m₁наименьшие значения производной F(X), а

M₁наибольшие значения производной F(X) на отрезке [A, B].

Если производная F(X) отрицательна, то вместо уравнения F(X)=0 рассматриваем уравнение F(X)=0.

Заменим уравнение (4.5) эквивалентным ему уравнением:

X=X–F(X) (>0).

Подберем параметр  так, чтобы выполнялось неравенство:

0f(X)=1F(X)q<1 при AXB.

Учитывая условие (4.11), можно выбрать и

4.2.3. Метод Ньютона – Рафсона

4.2.3.1. Описание классического метода Ньютона - Рафсона

Предположим, что уравнение f(X)=0 имеет один корень на интервале [, ], производные f(X) и f(X) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [, ].

Возьмем некоторую точку начального приближения X⁰[, ] и проведем в точке P₀ {X⁰, f(X⁰)} касательную к кривой Y=f(X) до пересечения с осью OX. Абсциссу этой точки пересечения (X¹) можно взять в качестве очередного приближенного значения корня.

Проведя касательную через новую точку P₁{X¹, f(X¹)} и находя точку ее пересечения с OX, получим второе приближение X² к истинному положению корня и т. д.

Уравнение касательной, проходящей через точку P₀, имеет вид:

Y=f(X⁰)+f(X⁰)(X–X⁰).

Полагая Y=0, найдем абсциссу X1 точки пересечения касательной и OX

Следующие приближения найдем по формулам:



(4.12)

Процесс вычисления приближений необходимо прекратить при выполнении условия:

(4.13)

где m₁ – наименьшие значение |f(X)| на отрезке [, ],

M₂ – наибольшее значение |f(X)| на том же отрезке.

При этом будет выполняться равенство:

где  – предельная абсолютная погрешность корня

Начальное приближение X⁰ выбирают так, чтобы было выполнено условие сходимости:

f(X⁰)f(X⁰)>0. (4.14)

В противном случае не гарантируется сходимость метода. Чаще всего выбирают X⁰= или X⁰= в зависимости от того, в какой из точек выполняется условие сходимости.