3. Коническая оболочка.

Для конической оболочки будем иметь (Рис. 1.3)

Пусть оболочка нагружена равномерным внутренним давлением p (Рис. 1.4) и закреплена от продольных смещений.

Тогда из равновесия верхней части оболочки.

Отсюда

Из уравнения Лапласа

Эти выражения относятся только к конической части оболочки, но не к днищу.

1.4. Тороидальная (торовая) оболочка.

Торовая оболочка может иметь круговой, эллиптический или какой-либо иной меридиан, вращением которого вокруг продольной оси и образована оболочка. Рассмотрим круговую торовую оболочку под действием внутреннего давления (Рис. 5).

Рис. 5

Для такой оболочки имеем следующие геометрические характеристики.

Для проекции всех усилий на ось выделим кольцо, у которого усилия на одном меридиане не будут проектироваться на ось оболочки. Получим

откуда

(1.7)

Подставляя в уравнение Лапласа, после преобразований получаем

Усилия в окружном направлении постоянны и не зависят от окружной координаты. Меридиональные усилия зависят от и достигают наибольших значений при Это - внутреннее кольцевое сечение.

При тор превращается в сферу, и значения усилий будут

,

а при тор превращается в цилиндр. Для предельного перехода в формуле (1.7) поделим числитель и знаменатель на . Тогда при имеем а усилия При этом предельном переходе следует иметь в виду, что окружные усилия для тора переходят в меридиональные для цилиндра, и - наоборот.

1.3. Физические и геометрические зависимости.

Компоненты деформаций связаны с обобщенными силами безмомнтной оболочки и температурой зависимостями

(1.8)

Установим связь между компонентами деформации и перемещениями, возникающими в симметрично нагруженных оболочках вращения. Для этого рассмотрим деформацию бесконечно малого элемента меридиана (Рис.6). После деформации этот элемент займет положение . Его перемещение по касательной к меридиану обозначим через , а по внешней нормали - .

Деформация в направлении меридиана

(1.9)

Перемещения и вызывают изменение первоначального радиуса параллельного круга на величину (Рис.7)

(1.10)

Следовательно, деформация в окружном направлении

(1.11)

При известных деформациях (1.8) соотношениями (1.9), (1.11) определяются усилия. Из (1.11)

и из (1.9)

(1.12)

Обозначим , и перепишем уравнение (1.12) в виде

Интегрируя это уравнение по продольной координате , получаем

(1.13)

Здесь С - постоянная интегрирования. Она определяется из условий закрепления оболочки вдоль продольной оси x

При рассмотрении осесимметричной деформации безмоментной оболочки граничные условия должны ставиться либо по усилиям (статическое условие), либо по тангенциальным смещениям u (геометрическое условие).

Если задача статически определима, то из одного условия в закрепленной точке определяется константа C.

Если задача статически неопределима, то оболочка закреплена с двух концов, и продольных усилий определить нельзя. Второе условие ставится по отсутствию продольных деформаций на этом конце оболочки.

По нормальным смещениям w граничных условий ставить нельзя, так как безмоментная модель оболочки допускает по этим перемещениям разрывы.

Поясним это на примере стыка двух оболочек различной кривизны.

Пусть цилиндрическая оболочка со сферическим днищем находится под действием внутреннего давления p и закреплена по стыку оболочек (Рис. 8), и пусть температурные напряжения отсутствуют. Тогда , и из (1.12) имеем .

Следовательно из (1.13)

Поскольку оболочка закреплена от тангенциальных смещений, то

Нормальные смещения на основании (1.8)

(1.14)

Для цилиндрической оболочки

(1.15)

Как видим, сопоставляя выражения (1.14), (1.15), прогибы сферической и цилиндрической частей оболочки - разные. Это означает, что состояние в зоне стыка у оболочек - моментное, а не безмоментное, несмотря на равные жесткости. Для получения непрерывного решения необходимо использовать другую модель оболочки.