1. Прості та складні відсотки.

Обчислення простих відсотків.

Розглянемо варіанти нарощення величини вартісного показника при нарахуванні відсотків.

Нараховувати відсотки можна весь час від однієї і тієї ж суми, як правило, початкової (постійна база нарахування), тоді нараховані відсотки називають простими. Формула нарахування простих відсотків за декурсивною ставкою відсотків (і):

,

де W – відсотки; P₀ – початкова сума; i – декурсивна ставка відсотків; n – число періодів нарахування.

Нарощена сума включає початкову суму та відсотки:

.

Таким чином, схема розрахунку нарощеної суми (вартості) (S) за схемою простих відсотків (декурсивна ставка відсотків) має формулу:

.

Вираз називають декурсивним множником нарощення простих відсотків.

Прості відсотки застосовуються, як правило, в короткотермінових фінансових операціях.

Розглянемо застосування формул на умовному прикладі.

Приклад 1.

Умова: Нехай фірмою взято в банку кредит у розмірі 100 тис. грн. на строк 3 роки. Річна рекурсивна ставка відсотків – 14%. Обчислити за схемою розрахунку простих відсотків суму відсоткових грошей та кінцеву суму боргу.

Розв’язання:

Річна плата за кредит складає 14% від суми кредиту, тобто 14 тис. грн. Оскільки розраховуються прості відсотки при сталій базі нарахування (100 тис. грн.), щороку нараховується однакова сума (14 тис. грн.) За три роки плата за кредит складе 14 x 3 = 42 (тис. грн.) Кінцева сума боргу включає початкову суму боргу та плату за користування грошима: 100 + 42 = 142 (тис. грн.)

Розв’яжемо приклад за допомогою вищерозглянутих формул розрахунку.

Дано: P₀ = 100000 грн. ; i = 0,14 (для схем розрахунку ставка відсотків – в коефіцієнтах); n = 3 роки.

,

Відповідь: сума відсоткових грошей складає 42 тис. грн., кінцева сума боргу дорівнює 142 тис. грн.

Формула нарахування простих відсотків за обліковою ставкою відсотків (d) має наступний вигляд:

,

де - множник нарощення простих відсотків за обліковою ставкою.

Приклад 2.

Змінимо декурсивну ставку відсотків в умові першого прикладу на облікову і розрахуємо за схемою розрахунку простих відсотків суму відсоткових грошей та суму, що буде в користуванні.

Розв’язання:

Оскільки відсотки вилучаються наперед, перед початком строку користування грошима, в користуванні буде сума:

100000 – 42000 = 58000 (грн.)

Повернути через три роки повинні 100 тис. грн. Таким чином, фактично при позиці отримується сума 58 тис. грн. Перевіримо за схемою нарахування простих відсотків цю кінцеву суму боргу:

Відповідь: сума відсоткових грошей складає 42 тис. грн., сума в користуванні дорівнює 58 тис. грн.

Нарощення за простими відсотками.

Кількість періодів нарахувань може бути дробовим числом. Якщо прийняти k – кількість днів в році, q – кількість днів позики, тоді число періодів нарахування протягом року буде обчислюватись за формулою:

Відсотки будуть нараховуватись за формулою:

Параметри q та k можна обчислювати точно і наближено.

• k знайдене точно буде дорівнювати 365 днів (календарний рік) або наближено 360 днів (так званий „банківський” рік);

• Якщо послідовно пронумерувати всі дні в році, тоді можна обчислити q точно, через різницю між номером дати погашення та номером дати надання позики. Якщо прийняти, що число днів у місяці наближено 30, тоді q може бути знайдене наближено. [4]

Приклад 3.

Дата надання позики 05.03.2002 (день № 64 від початку року), дата погашення позики 02.11.2002 (день № 306 від початку року). Рік не високосний. Обчислити кількість днів позики точно і наближено.

Розв’язання:

02.11.2002

- 05.03.2002

- 3.08.0

q _{наближене} = = 30 x 8 – 3 = 240 – 3 = 237 (днів)

q _точне = № дати погашення - № дати надання = 306 – 64 = 242 (дні).

Відповідь: точна кількість днів позики становить 242 дні, наближена кількість днів позики становить 237 днів.

З точними та наближеними параметрами q та k можливі наступні варіанти нарахування простих відсотків:

1. звичайні відсотки - q та k знаходять наближено. Ці відсотки ще називають знайденими за німецькою методикою.

2. комерційні (банківські) відсотки - q знаходять точно, k знаходять наближено. Ці відсотки ще називають знайденими за французькою методикою.

3. точні відсотки - q та k знаходять точно. Ці відсотки ще називають знайденими за англійською методикою.

Приклад 4.

За умовою попереднього прикладу обчислити звичайні, комерційні та точні відсотки. Величина позики 10 тис. грн., відсоткова ставка 16%. Які відсотки більш вигідні для позичальника, а які – для кредитора?

Розв’язок.

W _{звичайні} =

W _{комерційні} =

W _точні =

Відповідь: для кредитора більш вигідні комерційні (банківські) відсотки, а для позичальника – точні та звичайні відсотки.

В споживчому кредиті можуть застосовуватись формули простих відсотків для розрахунку платежів погашення. Відсотки нараховуються на всю суму кредиту. Якщо планується рівномірне погашення кредиту протягом n років з внесенням платежів погашення m раз на рік, величина разового погашувального платежу (s) буде розраховуватись за формулою:

.

Якщо при оформленні угоди вносять аванс, тоді розрахунок величини разового погашувального платежу буде наступний:

,

де P_авансу – величина авансу. [4]

Іноді в контрактах передбачають зміну відсоткової ставки через певні проміжки часу, тоді розрахувати суму відсотків та кінцеву суму боргу можна за формулами:

Приклад 5.

Фірмою взято кредит розміром 100 тис. грн. на рік. За умовою контракту відсотки нараховують щокварталу. Щоквартальна відсоткова ставка півроку становить 3%, а кожного наступного кварталу збільшується на 1 пункт. Яка величина відсоткових грошей та кінцева сума боргу будуть повернуті фірмою в кінці строку позики?

Розв’язання.

Відповідь: фірмою будуть повернуті 115 тис. грн., з них 15 тис. грн. складає плата за кредит.

Врахування інфляції в ставці простих відсотків.

При обчисленні вартісних величин необхідно враховувати вплив інфляції. При обчисленні простих відсотків зручно враховувати вплив інфляції у відсотковій ставці.

Позначимо рівень інфляції через ψ, який визначається як коефіцієнт приросту: ψ = І_інф – 1 ,

де І_інф – індекс інфляції в коефіцієнтах.

Тоді втрати від інфляції становитимуть: ∆S_ψ = S x ψ = .

Сума захищена від інфляції буде включати кінцеву суму боргу та відшкодування можливих втрат від інфляції:

(1)

З іншого боку, можна обчислити кінцеву суму боргу захищену від інфляції із застосуванням відсоткової ставки, що враховує інфляційний вплив:

(2),

де - ставка, що враховує інфляцію.

Очевидно, що рівність лівих частин формул (1) та (2), означає рівність правих частин. Тоді:

.

Після скорочень та розкриття дужок розрахуємо:

: .

Якщо відсоткова ставка невелика, інфляція низька, строк позики малий, тоді останнім доданком у формулі можна нехтувати : .[4]

Приклад 6.

Позику розміром 500 тис. грн. видано 13.02.2001, погашено 18.10.2001, проста декурсивна ставка відсотків 10%. Індекс інфляції склав 115%. Визначити за формулою розрахунку точних відсотків просту ставку відсотків, що враховуватиме інфляцію, а також суму платежу з врахуванням інфляції.

Розв’язання:

За таблицею порядкових номерів днів у році:

13.02.2001 – день № 44;

18.10.2001 – день №. 291.

Точна кількість днів позики:

q _точне = № дати погашення - № дати надання = 291 – 44 = 247 (днів).

Рівень інфляції в коефіцієнтах: ψ = І_інф – 1 = 1.15 – 1 = 0.15

Проста ставка відсотків, що враховує інфляцію:

(або 26%)

Сума платежу з врахуванням інфляції:

Відповідь: проста ставка відсотків, що враховуватиме інфляцію дорівнює 26%, сума платежу з врахуванням інфляції дорівнює 587972.60 грн.

Обчислення складних відсотків.

Якщо відсотки кожен раз нараховуються від нарощеної суми, тобто від суми збільшеної за рахунок приєднання до неї відсотків, тоді нараховані відсотки – складні. Нарахування відсотків з приєднанням їх до основної суми боргу називають капіталізацією суми боргу або нарахуванням відсотків від змінної бази нарахування.

Обчислимо складні відсотки за декурсивною ставкою (і). Нараховані відсотки кожен раз будуть мати іншу величину:

; ; ... і т.п.

Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:

; ; ... і т.п.

Загальна формула розрахунку нарощеної суми (вартості) за складними відсотками має вигляд:

.

Вираз називають множником нарощення складних відсотків за декурсивною ставкою. Значення цього множника часто для зручності наводять в таблицях складних відсотків. Точність обчислення в практичних розрахунках визначається граничним ступенем заокруглення нарощеної суми. [5]

За обліковою ставкою відсотків (d) нарахування складних відсотків проводиться за формулою:

,

де - множник нарощення складних відсотків за обліковою ставкою.

Складні відсотки мають широке застосування у фінансових обчисленнях зокрема та економічних розрахунках загалом. Їх формули розрахунку використовують як для довгострокових, так і для короткострокових розрахунків.

Приклад 7.

Нарощена сума склала 6 тис. грн., декурсивна відсоткова ставка – 4% річних, строк зберігання грошей – 20 місяців. Визначити початкову суму грошей за простими та складними відсотками.

Розв’язання:

1.Початкова сума грошей за простими відсотками дорівнює:

тис. грн.

2. Початкова сума грошей за складними відсотками дорівнює:

тис. грн.

Відповідь: початкова сума боргу за простими відсотками становить 3.3 тис. грн., за складними відсотками – 2.7 тис. грн.

Врахування інфляції в розрахунках складних відсотків.

При застосуванні схем складних відсотків інфляцію враховують за допомогою індексу купівельної спроможності грошей (І_кс). Цей індекс зворотній до індексу інфляції (І_інф). Реальна кінцева сума боргу за схемою складних відсотків буде розраховуватись за формулою:

І_кс можна виразити через рівень інфляції ψ: , тоді реальна кінцева сума боргу за схемою складних відсотків буде розраховуватись так:

Приклад 8.

Якою буде реальна купівельна спроможність суми 100 тис. грн. через три роки, якщо нараховуються 16% в рік за ставкою складних відсотків, а прогнозований рівень інфляції 15% щороку?

Розв’язання:

Відповідь: Реальна купівельна спроможність 100 тис. грн. через три роки буде дорівнювати 102631,45 грн.