2.3 Знаходження диференційних рівнянь та рівнянь статики

• Для розімкненої системи:

Передаточна функція розімкненої системи:

W6

Знайдемо диференційне рівняння:

W6

(2.6)

Перейдемо від операторної форми запису до звичайної (залежність від t). Отримаємо диференціальне рівняння розімкнутої системи щодо задає впливу:

Знайдемо рівняння статики, взявши межа від передавальної функції в усталеному режимі тобто .

,

Отже, отримали

• Для замкнутої системи по управлінню

Передаточна функція

;

Знайдемо рівняння статики

Тобто

• Для замкнутої системи по обуренню

Передаточна функція:

Получим дифференциальное уравнение:

Найдем уравнение статики:

• Знаходження рівнянь для схеми по помилці

Диференційне рівняння має вигляд:

(2.18)

Статичне рівняння:

(2.19)

Підставивши задані числові значення отримаємо:

3 Дослідження стійкості системи

Стійкість-це властивість системи повертатися в результат-ве стан після виведення її з цього стану, прекраще-ня дії обурення.

Стійкість є дуже важливою характеристикою якості-ства системи. Нормально функціонуюча система прагне зменшити різницю між значеннями задає впливу і керуючої величини, але може вийти так, що ця раз-ність буде не зменшуватися, а зростати з плином време-ні, тобто система буде нестійкою. [3]

Для визначення стійкості системи існує неяк-до різних критеріїв стійкості, які ми гарно вивчили на ТАУ ще в минулому семестрі.

3.1Дослідження стійкості замкнутої системи за критерієм стійкості Гурвиця

• По управлінню

Система описується характеристичним рівнянням

Tk·Tg·Tdv· + (Tk·Tg + Tk·Tdv+ Tg · Tdv)· + (Tk + Tg+ Tdv) ·p+1+ +Kk·Kg·Kdv·Ktg=0

Складемо матрицю Гурвиця

1. Tk·Tg·Tdv=(0.017·1.17·0.55)>0

2. (Tk·Tg + Tk·Tdv+ Tg · Tdv)=0.6727>0

Згідно відомих правил складання матриці, отримаємо:

Підставивши числа отримаємо таку матрицю:

3)

Визначник такої матриці

4) Визначник матриці G

Всі критерії Гурвиця виконуються, отже система по управлінню буде стійка.

• По обуренню

Легко помітити, що передатні функції по управлінню та по обуренню мають однакові знаменники, тобто характеристичні рівняння однакові, тому матриці Гурвиця будуть однакові і система по обуренню буде теж стійка.

3.2 Визначення стійкості системи по лачх та лфчх

Щоб замкнута система була стійка, необхідно щоб на ЛАЧХ розімкнутої системи ωср булла лівіше ніж ωкр.[3]

Побудова ЛАЧХ

ЛФЧХ будуємо для розімкнутої системи:

_{Реальна та уявна частини передаточної функції системи:}

v:=simplify(evalc(Re(A)));

u:=simplify(evalc(Im(A)));

achh:=sqrt(u^2+v^2); w:=10^x;

lachh:=evalf(simplify(20*log10(achh)));

Тепер побудуємо ЛАЧХ:

plot(lachh,x=0..2);

Рис 10 – ЛАЧХ

Побудова ЛФЧХ

A:=eval(W6,[p=I*w]);

Знайдемо аргумент функції

A:=eval(A,[p=I*w]);

f:=argument(A);

plot([f], x=-0..2, y=Pi..-2*Pi);

Рис 11 – ЛФЧХ

Знайдемо ωср та ωкр:

omega[sr]:=fsolve(lachh,x=0.6..0.8);

omega[kr]:=fsolve(f=Pi,x=1.2..1.4);

Тобто ωср знаходиться лівіше ωкр, а отже по інженерному критерію стійкості замкнута система буде стійкою.

Знайдемо запас стійкості по амплітуді:

delta:=-lachh(omega[kr]);

Знайдемо запас стійкості по фазі в радіанах:

Delta[phi]:=-evalf(f(omega[kr])-f(omega[sr]));