Тема 6. Нелинейная регрессия
Различают два класса нелинейной регрессии:
Класс I : Регрессия нелинейная, относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейная по оцениваемым параметрам.
Сюда входят: А) полиномы всех степеней
Б)
равносторонние гиперболы
Класс II : Регрессия нелинейная по оцениваемым параметрам.
Сюда входят: А)
степенная функция
Б)
показательная функция
В)
экспоненциальная функция
Г)
другие функции
Модели I класса
Цель при анализе моделей: определить параметры функции, тесноту связи и надежность.
Для этого класса можно использовать МНК.
1)
Полином: √
второй степени
Процесс превращения нелинейных функций в линейный вид называется линеализацией.
√ k-той
степени
Параметры а, b, c,…, k можно определить МНК. Таким образом, полином любого порядка сводится к линейной регрессии.
Интерпретация параметров и использование в практике параболы
Парабола имеет следующий вид: у параболы существует точка перегиба. Это означает, что определенного предела функция ведет себя как возрастающая, а потом начинает убывать (наоборот).
На практике перечень таких явлений ограничен. Поэтому, во-первых, для выравнивания используют не всю параболу, а какой-либо её сегмент. Здесь надо помнить, что существует точка перегиба, после которой прогноз будет невозможен. Во-вторых, заменяют параболу на степенную функцию.
Система нормальных уравнений для определения параметров параболы
2)
Равносторонняя гипербола
Система нормальных уравнений для определения параметров равносторонней гиперболы
Интерпретация уравнения:
-
если b
> 0 , х →
=> у → а
- если b
< 0 , х →
=> у → а
функция убывает функция возрастает
Все другие модели, которые приводятся к линейному виду путем замены переменных на соответствующие линейные.
Модели второго класса
1) Внутренне-линейные модели
Могут быть приведены к линейному виду путем логарифмирования или других преобразований.
а) Степенная функция
Решаем уравнение, применяя МНК.
После нахождения параметров a' и b проводим потенцирование и возвращаем уравнение к исходному виду.
б) экспоненциальная функция
К этому уравнению применим МНК.
2) Внутренне-нелинейные модели
Не могут быть приведены к линейному виду.
Для оценки их параметров используют метод подбора, т.к. нельзя использовать МНК.
Таким образом, в эконометрике к линейным моделям относят:
1. Модели, линейные по переменным и параметрам (например, у = а + вх)
2. Модели, так или иначе, сводимые к линейным, т.е. нелинейные внешне, но линейные внутренне.
Тема 7. Коэффициент эластичности
Коэффициент показывает, на сколько процентов изменится У при изменении Х на один процент.
Найдем коэффициент эластичности для степенной функции у = а ∙ хb ∙ ε
Для линейной функции:
у = а + вх
Коэффициент эластичности зависит от значения Х, что неудобно.
Поэтому рассчитывают средний коэффициент эластичности, и работают с этим коэффициентом:
Интерпретация коэффициента эластичности: возможны случаи, когда коэффициент эластичности не имеет экономического смысла (например, х – стаж, у – заработная плата. При изменении стажа на 1% зарплата изменяется. Или х – срок кредита, у – ставка), тогда используют более простые способы интерпретации.