11.2. Распределение Ферми-Дирака для электронов в металле

Свободные электроны в металле.

Электропроводность металлов обусловлена, как известно, наличием в них электронов, которые мы называем свободными. Они не связаны с конкретными атомами и могут практически свободно перемещаться в пределах образца.

В первом приближении свободные электроны можно рассматривать как идеальный газ из фермионов в прямоугольной потенциальной яме.

Прежде всего, рассмотрим поведение электронного газа при температуре Т = 0.

В этом случае функция (2) принимает следующие значения:

С оответствующий график показан на рис. 1,

из которого видно, что

1. - заполнены все состояния с энергией <,

а состояния с  <  оказываются незанятыми.

2. Состояния квантованы, и энерге­тические уровни являются дискретными, но расположены настолько густо, что энергетический спектр можно считать квазинепрерывным .

В статистике Ферми-Дирака, которой подчиняется элект­ронный газ, принимается во внимание принцип Паули (соглас­но ему в каждом квантовом состоянии может находиться не бо­лее одного электрона). Отсюда следует, что даже между свобод­ными электронами существует какое-то взаимодействие. Однако это взаимодействие не является силовым, а представля­ет собой сугубо квантовый эффект, чуждый классическим пред­ставлениям.

Энергия Ферми.

В рассматриваемом случае (Т = 0) величину  называют энергией или уровнем Ферми:

 = .

Эта энергия яв­ляется максимальной, которую могут иметь свободные элект­роны в металле при T= 0.

Найдем  .

Для этого сначала определим число квантовых состояний (фазовых ячеек) для свободных электронов с энергиями в интервале .

Энергия и импульс элект­рона связаны соотношением .

Отсюда и .

Поэтому согласно (7), т.е. в расчете на единицу объема электронного газа, примет вид

, (10)

где введено обозначение

. (11)

Рис.2.Зависимость числа квантовых состояний на единицу энергии, , от энергии представлена графически.

Чтобы определить число свободных электронов dn в интервале энергий ,

надо умножить соответствующее число фазовых ячеек, т.е. (10),

на среднее число этих электронов в одной ячейке — на функцию заполнения f:

(12)

Коэффициент 2 появился в связи с тем, что в каждой фазовой ячейке могут расположиться два электрона (фермиона) с противоположно направленными спинами.

В нашем случае (Т = 0) свободные электроны заполняют полностью (f = 1) все квантовые состояния с энергиями  < , и мы имеем

. (13)

Рис. 3. График функции распределения свободных электронов по энергиям,

т.е. dn/d в зависимости от энергии .

Площадь под этим графиком равна концентрации n свободных электронов:

. (14)

Отсюда находим  - максимально значение энергии свободных электронов при T=0.

Эта величина и есть энергия или уровень Ферми: . (15)

При получении этого выражения учтено, что постоянная  определяется формулой (11).

Оценим значение  .

Концентрация n свободных электронов в металлах находится в пределах от 10²² до 10²³ см^-3.

Для среднего значения n = 510²² получим  = 0,810 ^-11 эрг = 5 эВ.

Средняя энергия свободных электронов.

При Т=0, согласно формулам (13) и (11) получаем

, (16)

при значении  = 5 эВ <> = 3 эВ.

Классическому газу с такой средней энергией соответствовала бы ( <> = 3/2kT) температура T ~ 510⁴ К. Эта температура во много раз превосходит температуру плавления любого металла.

Идеальный газ, распределение частиц по энергиям которого сильно отличается от классического, называют вырожденным, что мы и имеем в рассмотренном случае.

Энергия Ферми при Т > 0.

Рис.4. Распределение Ферми-Дирака несколько размывается в окрестности уровня Ферми. Это происходит вследствие взаимодействия свободных электронов с тепловым движением атомов.

Так как средняя энергия теплового движения атомов имеет порядок kT, то область размывания функции имеет тот же порядок kT.

Аналогично деформируется и функция распределения свободных электронов по энергиям, т.е. dn/d (рис. 5).

Таким образом, при нагревании металла энергию могут изменить только те свободные электроны, которые находятся на самых верхних уровнях, примыкающих к уровню Ферми. Основная же масса свободных электронов на более низких энергетических уровнях остается в прежнем состоянии и поглощать энергию при нагревании не будет.

Именно в этом ключ к разгадке «странного» поведения электронного газа, вклад которого в теплоемкость практически не заметен, и теплоемкость кристалла практически зависит только от колебаний атомов решетки.

Имея в виду, что в модели свободных электронов последние находятся в прямоугольной потенциальной яме, распределение электронов изображают для наглядности так, как показано на рис. 6. Здесь

U - глубина ямы,

А - работа выхода (наименьшая энергия, которую надо сообщить электрону для удаления его из металла, А=U- ).

Спектр энергетических уровней дискретный (практически квазинепрерывный).

Тонированая часть рисунка соответствует части спектра, заполненного свободными электронами.

Энергия Ферми, как показывает расчет, несколько зависит от температуры:

,

где  (0) — уровень Ферми при Т = 0, определяемый формулой (15). Это энергия, при которой распределение Ферми-Дирака (2) при­нимает значение f = 1/2.