8

Лекция 3

11. Квантовые статистики и их применения

11.1. Квантовые статистики

11.2. Распределение Ферми-Дирака для электронов в металле

11.3. Распределение Бозе - Эйнштейна для фотонного газа

11.1. Квантовые статистики

В квантовой физике, как и в статистической, закономерности имеют вероятностный, статистический характер.

Однако есть и принципиальное отличие: в квантовой физике статистический (вероятностный) подход лежит в самой природе микрочастиц, в их волновых свойствах.

Согласно квантовой теории все микрочастицы подразделяют на два класса, которым соответствуют две квантовые статистики:

1. частицы с полуцелым спином, их называют фермионами; они подчиняются статистике Ферми-Дирака;

2. частицы с целым спином — бозоны; они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Других возможностей квантовая теория не допускает.

Нет частиц, подчиняющихся классической статистике Больцмана. Последняя является приближенным предельным случаем, в который переходят при определенных условиях эти две квантовые статистики.

Физическая природа различия этих двух квантовых статистик вытекает из принципа неразличимости тождественных частиц, согласно которому существуют два типа волновых  - функций, описывающих состояние тождественных частиц, — симметричные и антисимметричные.

Во всех трех статистиках (классической, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака) допустимые микросостояния считаются равновероятными.

Но различие их — в способах определения микросостояний и статистических весов.

• В статистике Больцмана считается, что даже тождественные частицы принципиально различимы.

• В квантовых же статистиках, наоборот, считается, что тождественные частицы принципиально неразличимы.

• В статистике Ферми-Дирака в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули),

• в статистике Бозе -Эйнштейна - любое число частиц.

Различие статистик поясняет табл. 1, где показано как в каждой из них размещаются две тождественные частицы а и b по трем квантовым состояниям (клеткам). Видно, что

• в статистике Больцмана всех микросостояний девять и вероятность каждого из них равна 1/9.

• В статистиках же Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака состояния в первых трех парах распределения Больцмана неразличимы, и каждая пара рассматривается как одно состояние.

• Частицы а и b принципиально неразличимы, поэтому они обозначены просто точками.

• Для бозонов число микросостояний равно шести, и вероятность каждого из них1/6.

• Для фермионов последние три распределения статистики Бозе-Эйнштейна невозможны (принцип Паули).

• Остается только три микросостояния, и вероятность каждого из них равна 1/3.

Фазовые ячейки.

Основная задача квантовых статистик - это

• нахождение соответствующих им функций распределения частиц по тем или иным параметрам (например, по энергиям),

• определение средних значений этих параметров, характеризующих наиболее вероятное макросостояние всей системы частиц.

Для описания состояния системы частиц рассматривают воображаемое шестимерное пространство, каждая точка которого характеризуется шестью координатами: х, у, z, р_х, р_y, р_z. Это так называемое фазовое пространство.

Состояние системы определяется тем, как распределены в этом пространстве точки, изображающие состояния всех N частиц системы. При этом нужно учесть присущий частицам корпускулярно-волновой дуализм, согласно которому неопределенности координаты х и соответствующей проекции импульса р_х могут быть определены только с неопределенностью x и р_х, произведение которых, согласно принципу неопределенностей Гейзенберга, xp_x h. Аналогично и для других пар: y и р_у, z и р_z.

Поэтому естественно считать, что данному состоянию частицы в фазовом пространстве соответствует не точка, а фазовая ячейка, объем которой

. (1)

Распределение частиц по таким фазовым ячейкам есть предельно подробное квантовое описание состояния системы. Нас будет интересовать наиболее вероятное распределение частиц по фазовым ячейкам. Решение этой задачи достаточно сложно, поэтому мы приведем лишь окончательные результаты - распределения частиц по энергиям

Квантовые распределения. Эти распределения представляют собой функции , определяющие средние числа частиц в одной фазовой ячейке с энергией , или функции заполнения ячеек:

для фермионов (2)

для бозонов (3)

Здесь  - так называемый химический потенциал (некоторая характерная энергия, значение которой можно найти из условия нормировки: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу N частиц макросистемы).

Остановимся подробнее на особенностях этих распределений.

1. Для фермионов функция не может быть больше единицы, а для бозонов ее значение может быть любым ( 0).

2. Если <<1, то в знаменателях обоих распределений можно пренебречь единицей, и формула переходит в

, (4)

т.е. в распределение Больцмана (А — нормировочный коэффициент).

Значит, классическое распределение Больцмана справедливо лишь тогда, когда малы «числа заполнения» фазовых ячеек,— при условии < > << 1. Особо отметим, что в этом случае речь идет о совпадении формул, а отнюдь не о том, что изменяется поведение частиц (фермионы остаются фермионами, бозоны — бозонами).

3. В макросистеме уровни энергии частиц квазинепрерывны (расположены очень плотно). Поэтому индекс i у можно опустить.

4. Для бозонов значения  в (3) не могут быть положительными, иначе при <  окажется, что < 0, а это лишено физического смысла. Таким образом, для бозонов  < 0. У макросистем с переменным числом бозонов (к числу которых относят­ся, например, фотоны)  = 0, и формула (3) переходит в

(5)

Для фермионов подобного ограничения не существует.

Число фазовых ячеек. До сих пор мы имели дело с функцией , характеризующей среднее число частиц с энергией  в одной фазовой ячейке.

Для дальнейших целей необходимо найти число фазовых ячеек, в интервале энергий .

Чтобы определить ,

• найдем сначала соответствующий объем d фазового шестимерного пространства.

• Для этого в импульсной части фазового пространства выделим шаровой слой радиусом,

- равным импульсу p частицы,

- и толщиной .

Его объем равен .

• Умножив его на объем координатной части фазового пространства (это объем макросистемы), получим искомый элемент объема фазового пространства:

. (6)

• получим число фазовых ячеек в этом элементе объема, разделив на объем одной фазовой ячейки, равный согласно (1).

• Кроме того, в дальнейшем нас будет интересовать число фазовых ячеек, приходящихся на единицу объема обычного пространства, поэтому будем считать, что = 1.

• Таким образом, число фазовых ячеек в расчете на единицу объема, занимаемого газом, будет равно

. (7)

Эта величина имеет размерность м

Переход от импульсов к энергиям зависит от природы частиц. Это будет конкретизировано в дальнейшем.

Распределение частиц.

Зная число фазовых ячеек в интервале энергий и среднее число частиц в каждой ячейке, т.е. функцию заполнения f, мы можем найти число частиц dn в данном интервале энергий (в расчете на единицу объема газа):

(8)

где  — числовой коэффициент порядка единицы, он связан со спецификой частиц идеального газа.