Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

3_2-3_2_7 (2)

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
08.03.2015
Размер:
666.05 Кб
Скачать
t dt

3.2.ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН 3.2.1. Принцип Гюйгенса

С точки зрения геометрической оптики при падении света на преграду с отверстиями свет не может попадать в область геометрической тени. В действительности же световая волна распространяется в пространстве за преградой, т.е. в области геометрической тени, и это проникновение тем существеннее, чем меньше размер преграды. Если размеры преграды (щели, отверстия) сравнимы с длиной

волны, законы геометрической оптики нарушаются.

Качественно поведение света за преградой с отверстием объясняет принцип Гюйгенса, который позволяет построить фронт волны в момент времени

по известному положению фронта в момент времени t: каждая точка, до

которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн (рис.3.2.1), огибающая этих волн дает положение фронта в следующий момент времени.

Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 3.2.2). По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в изотропной и однородной среде будут сферическими. Построив огибающую, видим, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.

3.2.2. Интерференция световых волн. Основное уравнение интерференции. Интерференционное поле от двух точечных источников. Опыт Юнга

Рассмотрим две волны одинаковой частоты, которые, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания

одинакового направления

Е1 A1 cos t 1 ; E2 A2 cos t 2 .

Амплитуда результирующего колебания в данной точке

A2 A2

A2

2 A A cos , где

2

 

.

1

2

1

2

 

1

 

Если разность фаз

возбуждаемых волнами колебаний остается

постоянной во времени, волны называются когерентными. В случае некогерентных волн непрерывно меняется, принимая с равной

вероятностью любые значения, поэтому среднее за период значения сos равно нулю и

A2 A12 A22 -

интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой волной в отдельности: I I1 I 2 .

В случае когерентных волн сos имеет постоянное во времени, но свое для каждой точки пространства, значение, и

 

 

 

 

I I1 I2

2 I1 I2

cos .

В точках пространства, где cos 0

I I1

I 2 , в точках , где cos 0

I I1 I 2 . Таким образом, при наложении когерентных световых волн

происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн. Если интенсивности обеих волн одинаковы, то в максимумах I 4I1 , а в минимумах I 0 . Для некогерентных волн в этом случае интенсивность равна I 2I1 .

Естественные источники не дают когерентного света. Это связано с тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых

многими атомами. Излучение производится цугами длиной до 3м, причем фаза одного цуга никак не связана с фазой следующего.

Когерентные волны можно получить, разделив волну, излучаемую одним источником, на две части (рис.3.2. 3). Если заставить эти волны пройти разные

оптические пути, а потом наложить друг на друга, наблюдается интерференция. Разность оптических путей, проходимых волнами, не должна быть очень большой, чтобы складываемые колебания принадлежали одному цугу волн.

Пусть разделение волн происходит в точке Р. До точки Р первая волна проходит в среде с показателем преломления п1 путь s1 , вторая волна – в

среде с показателем преломления п2 путь s2 . Если в тоске О фаза колебаний равна t , то первая волна возбудит в точке Р колебание А1 cos t s1 1 , а

вторая волна – колебание А2 cos t s2 2 , где 1 cn1 , 2 cn2 - фазовые скорости волн. Разность фаз возбуждаемых в точке Р колебаний ,

 

s2

 

s1

 

 

n

 

 

n s . Заменив

 

2

 

2

 

 

 

равна

 

 

 

s

 

 

, где

 

- длина

 

 

2

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

2

 

1 1

 

 

 

0

 

 

1

 

c

 

 

 

 

c

c

 

 

волны в вакууме, имеем

2

, где n

s

 

n s

L

L

- оптическая

 

2

 

2

 

1

1

2

1

 

0

разность хода.

Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме,

 

т 0

(т = 0,1,2….) ,

(3.2.1)

 

 

 

 

то разность фаз

будет кратна

 

 

 

 

2π , и колебания, возбуждаемые

 

 

 

 

в точке Р обеими волнами ,

 

 

 

 

будут происходить в одной фазе,

 

 

 

 

т.е. (3.2.1) – условие максимума

 

 

 

 

интерференции.

 

 

 

 

 

Если равна полуцелому

 

 

 

 

числу длин волн в вакууме,

 

 

1

 

 

 

т

 

0

(т = 0,1,2….),

(3.2.2)

 

 

 

 

2

 

 

то

2т 1 , и колебания в точке Р будут в противофазе, т.е. (3.2.2) –

условие минимума интерференции.

Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, исходящие из источников S1 и S2 (опыт Юнга), имеющих вид параллельных тонких светящихся нитей (рис.3.2. 4). Область, в которой эти волны перекрываются, называется полем интерференции. Во всей этой области наблюдается чередование максимумов и минимумов интерференции. Если в поле интерференции внести экран, на нем будет видна интерференционная картина, имеющая вид чередующихся темных и светлых полос. Вычислим ширину этих полос, если экран параллелен плоскости, проходящей через источники S1 и S2 . Положение точки на экране будем характеризовать координатой х, отсчитываемой в направлении, параллельном прямой S1 S2 , начало отсчета выберем в точке О, относительно которой S1 и

S2 расположены симметрично. На рис.3.2.4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2

 

 

 

d

2

s2

2 x

 

,

s2

2 x

 

.

 

 

1

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

s

 

s s

 

s 2xd.

 

 

 

s2

s2

2

2

 

 

 

 

2

1

 

1

 

1

 

 

 

Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками d должно быть значительно меньше расстояния до экрана . Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, также много меньше . Тогда s2 s1 2 , и s2 s1 xd . Умножив

s2 s1 на показатель преломления среды п, получим оптическую разность

хода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

xd

.

 

 

 

 

 

(3.2.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив (3.2.3) в (3.2.1) и (3.2.2), получаем координаты максимумов и

минимумов на экране:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 0,1,2,... ; xmin

 

1

 

 

 

m 0,1,2,.. ,

xmax m

 

,

m

 

 

 

;

d

2

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

где 0 n - длина волны в среде. Расстояние между двумя соседними

максимумами называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между двумя соседними минимумами – шириной интерференционной полосы. Эти расстояния имеют одинаковые значения

x

 

 

.

(3.2.4)

d

 

 

 

 

Согласно (3.2.4), расстояние между полосами растет с уменьшением расстояния между источниками d. При d , сравнимом с , расстояние между полосами было бы того же порядка, что и . В этом случае отдельные полосы были бы совершенно неразличимы. Чтобы интерференционная картина была отчетливой, необходимо, чтобы d .

Если интенсивность интерферирующих волн одинакова, I1 I2 I0 , то результирующая интенсивность в точках с разностью фаз равна

I 2I 0 1 cos 2I 0 cos2 2 .

Т.к. ~ , то согласно (3.2.3), растет пропорционально х. Следовательно, интенсивность меняется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.

Ширина интерференционных полос и расстояние между ними зависят от длины волны. Только в центре картины, при х=0, совпадают максимумы всех длин волн. По мере удаления от центра максимумы разных цветов смещаются друг относительно друга все больше и больше.

Интерференционная картина смазывается.

Рассмотрим интерференцию двух плоских волн одинаковых амплитуд. Направления распространения этих волн образуют угол 2φ (рис.3.2.5). Направления колебаний светового вектора будем считать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярными к плоскости рисунка. Волновые векторы k1

и k2

лежат в

плоскости рисунка и равны по модулю k

k

 

 

2

. Уравнения этих волн

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x k cos y ;

 

 

 

 

 

 

Acos t k1r Acos t k sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Acos t k2 r Acos t k sin x k cos y .

 

 

 

 

 

 

Результирующее колебание в точке с координатами х, у

 

 

 

 

 

 

Acos t k sin x k cos y Acos t k sin x k cos y

 

 

 

2Acos k sin x cos t k cos y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого выражения следует, что в точках, где k sin x m

(т=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1,2,…), амплитуда колебаний равна 2А; в точках, где k sin x

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

(т= 0,1,2,…), амплитуда колебаний равна нулю. Где бы ни был экран Э, перпендикулярный оси Y , на нем будет наблюдаться система чередующихся

светлых и темных полос, параллельных оси Z. Координаты максимумов интенсивности

x

 

 

m

 

m

.

max

 

 

 

 

k sin

 

2sin

 

 

 

 

От положения экрана ( от у) зависит лишь фаза колебаний.

3.2. 3. Роль когерентности. Временная (продольная) когерентность. Пространственная (поперечная) когерентность

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Различают пространственную и временную когерентность.

Волновое число связано с частотой соотношением k . Поэтому

разбросу частот соответствует разброс значений k, и временная когерентность обусловлена разбросом значений k, пространственная

когерентность связана с разбросом направлений вектора k .

Рассмотрим временную когерентность. Монохроматическая волна

описывается выражением

E A cos t kr

и, строго говоря, является абстракцией. Всякая реальная световая волна образуется наложением колебаний разных частот, заключенных в интервале конечной ширины . Амплитуда волны А и фаза претерпевают со временем случайные изменения, поэтому колебания, возбуждаемые в некоторой точке пространства двумя накладывающимися друг на друга

световыми волнами, имеют вид

E1 t A1 t cos 1 t t 1 t ; E2 t A2 t cos 2 t t 2 t ,

причем хаотические изменения функций A1 t , 1 t , 1 t , A2 t , 2 t , 2 t являются совершенно независимыми.

 

Будем считать амплитуды A1 и A2 постоянными. Изменения частоты и

фазы можно свести либо к изменению одной частоты, либо к изменению

 

одной фазы. Действительно, представим функцию

 

E t

A t cos t t t в виде E t A cos 0t t 0 t t

,

где

0 - некоторое среднее значение частоты. Обозначим

 

t 0 t t t . Тогда E t A cos 0t t , мы получили

 

функцию, у которой хаотические изменения претерпевает лишь фаза

 

колебаний.

 

 

С другой стороны, любую негармоническую функцию, например,

 

E t , можно представить в виде суммы гармонических функций с частотами,

заключенными в интервале частот .

Таким образом, при рассмотрении вопроса о когерентности возможны два подхода – фазовый и частотный. Рассмотрим фазовый подход. Пусть частоты накладываемых волн одинаковы и постоянны, 1 2 сonst.

с tКОГ , на которое перемещается волна за время

Выясним влияние изменения фаз 1 , 2 на процесс интерференции волн. Интенсивность света в любой точке определяется выражением

I I1 I2 2I1 I2 cos t ,

где t 2 t 1 t . Выражение 2I1 I2 cos t называется интерференционным членом.

Всякий прибор, с помощью которого можно наблюдать интерференцию (глаз, фотопластинка и др.), обладает некоторой инерционностью и регистрирует картину, усредненную по некоторому промежутку времени t . Если за время t множитель cos t принимает все значения от +1 до –1, среднее значение интерференционного члена будет равно нулю, и регистрируемая прибором интенсивность будет равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой волной в данной точке, интерференции не будет. Если за время t значение cos t изменяется мало, прибор обнаружит интерференцию.

Фаза волны, образованной наложением огромного числа цугов, порождаемых отдельными атомами, не претерпевает больших скачков, а изменяется случайным образом небольшими скачками. Время tКОГ , за

которое случайное изменение фазы волны t достигает значения порядка, называется временем когерентности. За это время колебание как бы забывает свою первоначальную фазу и становится некогерентным по отношению к самому себе.

Расстояние КОГ

когерентности, называется длиной когерентности или длиной цуга. Это расстояние, на котором случайное изменение фазы достигает значения порядка . При делении естественной волны для получения интерференционной картины необходимо, чтобы оптическая разность хода была меньше длины когерентности. Это требование ограничивает число видимых интерференционных полос. С увеличением номера полосы т разность хода растет, а четкость ухудшается.

Выясним роль немонохроматичности световых волн. Пусть свет состоит из последовательности идентичных световых цугов частоты 0 и

длительности . При смене одного цуга другим фаза претерпевает беспорядочные изменения, вследствие этого цуги оказываются некогерентными. В этом случае длительность цуга совпадает со временем когерентности. Можно показать, что длительность цуга пропорциональна

величине частотного интервала цуга 2 1 . Тогда время

когерентности tКОГ 1 . Чем шире

интервал частот, представленных в данной световой волне, тем меньше время когерентности. Частота связана с

длиной волны

 

с

, продифференцировав,

получаем

с 0

 

с

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Тогда время когерентности tКОГ

~

2

, и длина когерентности

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ct

 

~

2

 

. Разность хода, при которой получается максимум т- го

КОГ

КОГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

порядка, определяется соотношением

т т 0

т . Когда эта разность

хода достигает порядка длины когерентности, полосы становятся

 

 

неразличимыми. Предельный наблюдаемый порядок интерференции

 

 

находим из условия т

 

~

 

~

2

, и т

 

~

 

. Таким образом,

ПРЕД

КОГ

 

ПРЕД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число наблюдаемых интерференционных полос возрастает при уменьшении интервала длин волн, представленных в используемом свете .

Рассмотрим пространственную когерентность. Разброс вектора k будем

характеризовать вектором . Возникновение в некоторой точке

еk

пространства колебаний, возбуждаемых волнами с

разными еk , возможно, когда эти

волны испускаются разными участками протяженного (неточечного) источника. Пусть источник имеет форму диска, видимого из данной точки под углом . Из рис. 3.2.6 видно, что угол характеризует интервал, в

котором заключены орты еk .

Будем считать этот угол малым. Допустим, что свет падает

от источника на две узкие щели, за которыми находится экран (рис. 3.2.7). Интервал частот, испускаемых источником, мал, поэтому степень временной когерентности достаточна для получения четкой интерференционной картины. Волна, вышедшая из участка поверхности О (на рис. 3.2.7), создает нулевой максимум М в середине экрана. Нулевой максимум М , созданный волной, пришедшей от участка О , будет смещен от середины экрана на

расстояние х . Угол и отношение

d

 

 

 

 

 

 

 

малы, поэтому x

2 . Нулевой

 

максимум М , созданный волной, пришедшей от участка

O , смещен от

середины экрана в противоположную сторону на расстояние x х .

Нулевые максимумы от остальных участков располагаются между максимумами М и М .

Отдельные участки источника света возбуждают волны, фазы которых никак не связаны между собой, поэтому интерференционная картина, наблюдаемая на экране, будет наложением картин, создаваемых каждым из участков в отдельности. Если смещение х много меньше ширины

интерференционной полосы х d , максимумы от разных участков

источника практически наложатся друг на друга, и картина будет такой же, как от точечного источника. При х х максимумы от одних участков придутся на минимумы от других, интерференционной картины не будет. Таким образом, интерференционная картина будет различимой при условии,

что х х , т.е.

 

 

 

 

или

 

2

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(3.2.5)

 

 

 

 

 

d

 

Здесь множитель 2 можно опустить.

Выражение (3.2.5) определяет угловые размеры источника, при которых наблюдается интерференция. Наибольшее расстояние между щелями, при котором еще наблюдается интерференция от источника с угловым размером найдем, умножив (3.2.5) на d :

d

.

(3.6)

 

 

 

Совокупность волн с разными еk можно заменить результирующей

волной, падающей на экран со щелями. Отсутствие интерференционной картины означает, что колебания, вызванные этой волной в местах нахождения первой и второй щелей, некогерентны, т.е. и колебания в самой волне в точках, находящихся на расстоянии d друг от друга, не являются когерентными. Если бы источник был идеальным монохроматическим ( =0) , поверхность, проходящая через щели, была бы волновой, и

колебания во всех точках этой поверхности происходили бы в одной фазе. Поверхность, которая была бы волновой при условии

монохроматичности источника, называют псевдоволновой. Колебания, возбуждаемые волной в достаточно близких точках псевдоволновой поверхности, будут когерентными. Такая когерентность называется пространственной.

Фаза колебаний при переходе от одной точки псевдоволновой поверхности к другой меняется случайным образом. Расстояние КОГ , при

смещении на которое вдоль псевдоволновой поверхности случайное изменение фазы достигает значения порядка , называется длиной или радиусом когерентности. Согласно (3.2.6),

КОГ ~ .

Колебания в двух точках псевдоволновой поверхности, отстоящих на расстояние, меньшее КОГ , будут когерентны.

Все пространство, занимаемое волной, можно разбить на части, в каждой из которых волна приблизительно сохраняет когерентность. Объем такой части пространства называется объемом когерентности. Он по порядку величины равен произведению длины временной когерентности на площадь круга радиуса КОГ .

3.2.4.Способы наблюдения интерференции

Бипризма (рис.3.

2.8) представляет собой две призмы, изготовленные из одного куска стекла и имеющие одну общую грань. Преломляющий угол каждой призмы мал, поэтому все лучи отклоняются призмой на

практически одинаковый

угол

 

n 1 .

В

результате

образуются

две

когерентные цилиндрические волны, исходящие из мнимых источников S1 и S2 , лежащих в одной плоскости с S.

Расстояние между источниками равно

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2a sin 2a 2a n 1 .

 

Расстояние от источников до

экрана =а + b. Ширину

 

 

интерференционной

полосы

находим из условия:

 

 

 

х

 

a b

 

 

 

 

 

.

 

 

 

2a n 1

 

 

 

Область перекрытия волн РQ

имеет протяженность (рис.3.2.8)

х0

2btg 2b 2b n 1 ,

а максимальное число наблюдаемых

 

 

х0

 

4ab(n 1)2 2

полос N

 

 

 

 

.

х

a b

Для

 

получения

 

четкой

интерференционной

картины

степень монохроматичности света должна удовлетворять условию

 

 

4 2 ab a b

 

4 2

n 1 2 ab

.

 

a b

 

a b

 

 

 

Бизеркала Френеля (рис.3.2.9). Система бизеркал Френеля дает два мнимых изображения светящейся линии S, располагающихся параллельно самому источнику и линии пересечения зеркал, т.е. параллельно оси O1Z1. Каждой точке S светящейся щели (линии) соответствуют два мнимых изображения S и S . Эти три точки лежат в плоскости, параллельной плоскости Х1О1Y1. На рис.3.2.9 изображена точка Sк , соответствующая середине светящейся щели (линии), и ее мнимые изображения Sк и Sк . Любая пара мнимых источников, являющихся изображениями одной точки светящейся линии, например, Sк и Sк , представляет собой точечные когерентные источники (так как они в любой момент в точности повторяют все особенности излучения светящейся точки Sк: начальную фазу, направление колебаний

вектора Е , возможное отклонение от монохроматичности).

Различные точки самой светящейся линии некогерентны между собой. Соответственно их мнимые изображения представляют собой некогерентные источники, т.е. волны, приходящие в одну точку экрана от этих источников, не интерферируют.

Волны, распространяющиеся от каждой пары когерентных источников, образуют в пространстве интерференционную картину в виде системы гиперболоидов вращения, каждый из которых соответствует определенной разности фаз. Если расстояние d между мнимыми изображениями светящейся линии мало по сравнению с расстоянием от них до экрана Э, то сечение гиперболоидов плоскостью экрана можно считать системой отрезков прямых, параллельных оси ОZ. Разность фаз между волнами, приходящими от какой-либо пары когерентных источников (например, Sк и Sк ) в некоторую точку экрана, зависит в этом случае только от угла , который каждый луч образует с осью О1Х1 (в данном случае ось О1Х1 соответствует полярной оси ОА на рис. 3.2.9).

Условие интерференционных максимумов имеет вид

 

= 2 d sin = 2 m .

(3.2.7)

Ордината m-ной светлой полосы на экране

 

ут tg .

(3.2.8)

Таким образом, положение интерференционного максимума

m-ного

порядка определяется углом и параметрами установки (r, b), от которых зависят расстояния d и .

Для того, чтобы с помощью равенств (3.2.7) и (3.2.8) рассчитать положение интерференционных полос и их ширину, рассмотрим ход интерферирующих лучей.

Точки Sк и Sк являются мнимыми изображениями точки Sк соответственно в