14.2. Математичні моделі послідовностей

часових інтервалів між подіями у потоці

Розглянуті раніше співвідношення характеризують лише імовірність появи цілочисельної кількості подій за певний інтервал часу і ніяк не характеризують імовірність появи поточного інтервалу визначеної тривалості (t_і), яка є найбільш важливою характеристикою, що дозволяє певним чином планувати поточну роботу СМО та визначати заходи щодо поліпшення якості її роботи. Тому доцільно сконцентрувати увагу саме на характері змін значень поточних інтервалів прибуття вимог в СМО та їх покидання СМО обслуженими.

Розглянемо імовірність того, що поточний інтервал часу буде меншим за задане значення , тобто . Враховуючи, що є імовірність того, що в інтервалі немає жодної події, тобто згідно з законом Пуассона (при m = 0):

можна стверджувати, що

(14.18)

Тоді диференційна функція розподілу (щільність розподілу) матиме вигляд:

(14.19)

Графіки та для цього закону, що називається експоненціальним (показовим) законом розподілу інтервалів між сусідніми подіями в пуассонівському потоці, представлено на рис. 14.2.

Рис. 14.2. Графіки та для експоненціального закону розподілу імовірностей

Для експоненціального закону розподілу величина є досить характерним значенням, що показує швидкість зміни імовірності появи певних інтервалів. Наприклад, за будь-якої інтенсивності

F(T) = 0,631 ≈ 0,63; F(2T) = 0,865; F(3T) = 0,95;

F(T) = 0,369 ≈ 0,37 ; f(2T) = 0,135 ; f(3T) = 0,05 ,

що означає, що в діапазоні від 0 до знаходяться приблизно 63% всіх числових інтервалів між подіями в пуассонівському потоці, в діапазоні від 0 до знаходиться 85% всіх інтервалів, в діапазоні від 0 до знаходяться приблизно 95% всіх інтервалів часу, що існують в пуассонівському потоці подій. Практично це означає, що визначивши експериментально інтенсивність потоку , можна визначити також межі 95% діапазону всіх можливих значень часових інтервалів в потоці як .

Розкладаючи в експоненціальний ряд і обмежуючись тільки першим степенем розкладання, можна визначити імовірність події в малому інтервалі (Δt):

(14.20)

Неважко показати, що для експоненціального закону розподілу імовірностей математичне сподівання інтервалу слідування

(14.21)

Застосовуючи інтегрування частинами типу

(14.22)

отримаємо врешті-решт

(14.23)

Аналогічно, для дисперсії значень t_і визначимо :

(14.24)

Застосовуючи інтегрування частинами (14.22), отримаємо наприкінці

та (14.25)

Коефіцієнт варіацій, як і для закону Пуассона

(14.26)

Таким чином, досліджуючи статистичні закономірності інтервалів слідування вимог в найпростішому потоці, можна зробити деякі висновки:

- інтервал часу між сусідніми вимогами відповідає експоненціальному (показовому) закону розподілу імовірностей їх появи;

- середнє значення ( ) інтервалу часу між вимогами та середнє квадратичне відхилення t_і від при достатньо репрезентативній виборці та кількості значень t_і наближаються одне до одного й до значення

Досі ми розглядали потоки подій, що не мають післядії. Прикладами таких потоків можуть бути потоки вимог на телефонні розмови, оскільки усі абоненти замовляють розмови цілком незалежно, не враховуючи замовлення інших. Те ж саме стосується потоку автотранспорту, що перетинає кордон і має бути обстеженим (обслуженим) службою митного контролю. Транспортні потоки на автомобільних дорогах, що перетинають деяку зону контролю або перехрестя, при невеликій щільності руху можуть розглядатися як такі, що відповідають розподілу Пуассона. Але існує багато реальних потоків, які, зберігаючи властивості ординарності, мають ефект післядії, тобто залежність моменту появи наступної події від моменту появи попередньої. Наприклад, в щільних потоках наступний автомобіль корегує свою швидкість в залежності від відстані до попереднього, тому його прибуття до перехрестя у певній мірі залежить від моменту прибуття попереднього. Таких прикладів можна навести багато. Головним же висновком зі сказаного є те, що в окремих випадках взаємо незалежності подій в потоці не існує, що унеможливлює безпосереднє застосування пуассонівських моделей потоку вимог для опису їх стану.

У загальному випадку для опису потоків подій з післядією використовуються потоки Пальма, але в транспортних системах найчастіше використовується один з видів потоків Пальма – потік Ерланга. При цьому замість одного інтервалу між подіями розглядають суму k інтервалів як один інтервал, враховуючи, що з ростом інтервалу взаємодія подій зменшується. Згідно з кількістю інтервалів, що складаються в один, розглядають потоки Ерланга k-гo порядку. Наприклад, при k = 2 розглядають в потоці, що взаємодіє, кожну другу подію (шляхом „просіювання” кожної парної або непарної подій), при k = 3 – кожну третю подію і т.д. Очевидно, чим більша взаємодія подій у потоці, тим більшим слід вибирати інтервал розгляду , де і – відраховується кожного разу від t_j.

Очевидно, що найпростіший (пуассонівський) потік можна розглядати як потік Ерланга 1-го порядку (k = l, тобто без „просіювання” подій).

У загальному випадку для потоків Ерланга k-ro порядку

(14.27)

(14.28)

де λ – інтенсивність породжуючого потоку Пуассона (без „просіювання”). Очевидно, що при k = 1 потік Ерланга співпадає з пуассонівським при m=1 (див. 13.18 та 13.19), тобто з експоненціальним законом розподілу інтервалів слідування. Враховуючи, що , матимемо

(14.29)

(14.30)

Слід зауважити в першу чергу, що на відміну від пуассонівського потоку подій, де в ерлангівському потоці k-гo порядку , що є першим і найголовнішим показником того, що в потоці існує взаємозалежність подій.

На практиці параметри розподілу ерлангівського потоку зручніше виражати не через інтенсивність породжуючого потоку Пуассона, а саме через фактично існуючу інтенсивність ерлангівського потоку ( ). Враховуючи , тому що в k разів менше λ породжуючого потоку (або ), формули (14.27) та (14.28) можуть бути записані у вигляді

(14.31)

(14.32)

Для інших статистичних характеристик матимемо відповідно

(14.33)

Припустимо, що експериментальне визначена інтенсивність потоку є . Тоді, визначивши

,

де N – кількість подій у потоці, можна шляхом порівняння та визначити порядок потоку Ерланга. З (14.33) виходить, що

(14.34)

тобто за допомогою (14.34) можна визначити порядок потоку Ерланга на основі експериментальне визначених та з подальшим округлюванням отриманого k до найближчого цілого значення.

Відмітимо одну важливу особливість потоку Ерланга, що забезпечує його універсальність і можливість застосування для моделювання будь-яких потоків подій. Нехай інтенсивність реального потоку є незмінною, тобто = = const. Спробуємо змінювати параметр k розподілу Ерланга з метою формалізації цього реального потоку потоком Ерланга. При цьому залишається незмінним, але та поступово зменшуватимуться при k→∞ до нуля. Таким чином, для реального потоку, що має визначені експериментально та , можна вибрати таке значення k, яке забезпечує задані та , майже до регулярного потоку, що має і .

На рис. 14.3 показані щільності розподілу імовірностей часових інтервалів слідування подій у потоках Ерланга k-гo порядку при λ = 1 (k = l, 2, 3, 4).

Рис. 14.3. Щільності розподілу імовірностей часових

інтервалів в потоках:

1 – Ерланга k=l (пуассонівський потік);

2 – Ерланга k=2;

3 – Ерланга k=3;

4 – Ерланга k=4;

5 – Двопараметричний експоненціальний розподіл.

Як видно на рис. 14.3, в потоці Ерланга при зростанні k поступово зміщується мода розподілу (максимальне значення в бік зростання відповідного значення τ. Можна також констатувати, що при k = 4 стає дуже схожою на нормальний (гауссівський) розподіл імовірностей. Інакше кажучи, змінюючи тільки параметр k потоку Ерланга, можливо змоделювати з його допомогою будь-який реальний потік з заданими та , від повністю випадкового пуассонівського потоку (k = l) до жорсткого зв’язку в потоці (k→∞). При цьому k є в певній мірі характеристикою зв’язності потоку.

Слід відмітити ще один закон розподілу, що дуже часто застосовується при описуванні потоків обслуговування, а також при описуванні часових інтервалів руху автомобілів у транспортних потоках. Йдеться про потоки подій, що не можуть бути меншими за певну величину . Це, практично, може бути мінімальний час заправки автомобіля на АЗС, мінімальний термін ремонту автомобіля на СТО, мінімальний інтервал між автомобілями у транспортному потоці, що не забезпечує безпеку руху і т.д. Для опису таких потоків подій часто застосовують двопараметричний закон розподілу часових інтервалів, що має відповідні характеристики:

(14.35)

(14.36)

Графік для цього розподілу представлено на рис. 14.3, й представляє собою експоненціального закону розподілу, переміщену на (на рис. 1.1 прийнято = 0,5 од.часу).

Завершуючи розгляд потоків подій, слід відзначити, що саме адекватність вибраної моделі реальному потоку подій забезпечує у подальшому отримання результатів аналізу, що допомагають зробити достовірні висновки щодо функціонування СМО і застосувати необхідні засоби поліпшення їх роботи.