Розділ 1

Побудова лінійних оптимізаційних моделей

1. 3адача розподілу ресурсів

2. Динамічне планування

3. Задача вибору оптимального транспортного маршруту

4. Алгебраїчне формулювання задачі лінійного програмування у загальному вигляді

5. Геометрична інтерпретація

6. Симплексний алгоритм

Лінійне програмування, безумовно, відноситься до числа найбільш широко розповсюджених методів дослідження операцій, використовуваних при рішенні виробничих і комерційних задач.

Попередні зауваження. Ціль даного розділу полягає в тому, щоб познайомити читача з низкою задач оптимізації, рішення яких припускає побудову лінійних моделей. Щоб здійснити це, не відволікаючи від головного, ми не будемо торкатися тут методів чисельного рішення задач лінійного програмування.

Важливий клас моделей, використовуваних при рішенні так званих транспортних задач, ілюструється на прикладі, приведеному в розділі 1.2. Багато складних моделей лінійного програмування являють собою комбінацію транспортної задачі і задачі „вибору компонентів” (для складання рідких сумішей, для виготовлення харчових продуктів і т.д.). Крім того, вони можуть бути „мультичасовими”, тобто містити елементи динаміки.

1.1. 3Адача розподілу ресурсів

На підприємстві, що випускає неоднорідну продукцію, керівник прагне визначити, якими повинні бути рівні виробництва для кожного продукту протягом якогось наперед заданого періоду. Ці рівні обмежені технологічними й іншими («внутрішніми» для даного підприємства) умовами, заданими у виді лінійних співвідношень (рівностей або нерівностей). У рамках цих обмежень керівництво даного підприємства намагається оптимізувати деяку конкретну цільову функцію, У розглянутому тут прикладі метою є одержання максимального прибутку.

Уявимо собі фірму (назвемо її умовно „Мультиконвеєр”), що має можливість реалізувати від одного до чотирьох різних типів виробничо-технологічних процесів, при цьому в неї є право вибору того або іншого варіанта. Технологічні процеси першого і другого типів орієнтовані на одержання продукції А, а технологічні процеси третього і четвертого типів – на одержання продукції В. Витрати, пов’язані з кожним з технологічних процесів, визначаються трудовитратами (вимірюваними в людино-тижнях), кількістю (в одиницях ваги) споживаного протягом тижня матеріалу Y и кількістю (у шухлядах) споживаного протягом тижня матеріалу Z. Оскільки витрати, пов’язані з різними технологічними процесами, не однакові, прибутковість процесів виявляється різною навіть у тому випадку, коли вони використовуються для одержання продукції того самого виду. При складанні виробничого плану на тиждень діапазон можливостей підприємства обмежений як за рахунок людських ресурсів, так і за рахунок споживаної сировини (тобто матеріалів Y і Z). Виробничо-економічні показники і всі наявні обмеження подані у табл. 1.1.

Таблиця 1.1

	На одиницю продукції А		На одиницю продукції В		Є у наявності (разом)
	технологічний процес 1	технологічний процес 2	технологічний процес 3	технологічний процес 4
Кількість людино-тижнів Кількість матеріалу Y (у кілограмах) Кількість матеріалу Z (одиниця виміру – ящик	1 7 3	1 5 5	1 3 10	1 2 15	≤15 ≤120 ≤100
Доход з одиниці продукції (у доларах)	4	5	9	11	Максимізувати
Обсяг продукції, що випускається	х1	х2	х3	х4

Розглянемо, насамперед, які допущення щодо технології виробництва необхідно прийняти, щоб забезпечити лінійність моделі.

Аксіоми лінійності. Приймемо наступні два допущення, що грають винятково важливу роль при аналізі (як у технологічному, так і в економічному аспектах) згаданих вище виробничо-технологічних процесів:

1. Подільність. Для кожного виробничо-технологічного процесу сумарна кількість кожного зі споживаних ресурсів і відповідний прибуток строго пропорційні обсягові продукції, що випускається, (тобто в розрахунку на одиницю часу пропорційні відповідної виробничої потужності або, як говорять, рівню виробничої активності). Іншими словами, усі показники виробничо-технологічного процесу можуть бути збільшені або зменшені при збереженні їхньої взаємної пропорційності.

2. Адитивність. Якщо значення кожної з керованих перемінних х_j визначено (тобто зазначений відповідний рівень виробничої активності), то повна кількість кожного зі спожитих ресурсів дорівнює сумі однойменних ресурсів, витрачених при реалізації всіх технологічних процесів, що застосовувалися, а повний прибуток дорівнює сумі прибутків, одержуваних в результаті реалізації цих технологічних процесів.

У розглянутому прикладі мається три лінійних нерівності (обмеження на трудовитрати, обмеження на матеріал Y і обмеження на матеріал Z). Прибуток, що підлягає максимізації, задається лінійним співвідношенням. Більш конкретно задача зводиться до наступного:

(1.1)

при обмеженнях

(людино-тижні),

(матеріал Y), (1.2)

(матеріал Z).

Негативні значення рівнів виробництва (обсягів продукції, що випускається), як, наприклад, х₁ = - 4,2, не мають фізичного змісту; таким чином, зажадаємо, щоб виробництво не було „негативним”. Іншими словами, будемо вважати, що кожна з керованих перемінних х_j (j = 1, 2, 3, 4) або дорівнює нулеві, або приймає позитивні значення, тобто ненегативна:

(1.3)

3адача організаційного управління полягає в тому, щоб знайти значення всіх невідомих х_j, що задовольняє співвідношення (1.2) і (1.3) і максимізують прибуток (1.1). Взагалі говорячи, такі значення не обов’язково є єдино можливими. Можуть існувати альтернативні оптимальні рішення.

Одночасно з бажанням визначити оптимальні значення для кожної невідомої х_j може виникнути намір з’ясувати, яким образом відіб’ється на одержуваному прибутку збільшення кожного зі споживаних ресурсів, удосконалювання того або іншого технологічного процесу, зміна вартості споживаної сировини (і, отже, зміна прибутковості виробничо-технологічних процесів) або використання в процесі виробництва якого-небудь іншого ресурсу, що не є дефіцитним. При рішенні багатьох практичних задач методом лінійного програмування подібні питання стають важливішими, ніж визначення оптимальних значень кожної з перемінних х_j.