1.2. Динамічне планування
Кожну з розглянутих вище моделей можна узагальнити на той випадок, коли задача планування носить мультичасовий характер. Так, наприклад, якщо в задачі розподілу ресурсів сировинні і людські ресурси, а також прибуток з одиниці продукції змінюються у часі, то задача оптимізації здобуває динамічний характер. При цьому вона не зводиться цілком до задачі оптимізації для послідовних періодів часу, розглянутих ізольовано одне від одного.
Загальним для всіх моделей цієї категорії є те, що поточні керуючі рішення „виявляються” як у період, що відноситься безпосередньо до моменту ухвалення рішення, так і в наступні періоди. Отже, найбільш важливі економічні наслідки виявляються у різні періоди, а не тільки протягом одного періоду.
Багато важливих моделей лінійного програмування мають так називану мережну структуру, що приводить до дуже простого табличного представлення.
Приклад. Велика молочна фірма має m заводів, що знаходяться в різних районах однієї області. Щодня виробництво молочної продукції на заводі i (i = 1, 2, ..., m) не перевищує Si літрів. Щоб задовольнити наявний попит, фірма повинна щодня поставляти на кожний з n пунктів збуту не менш Dj (j = 1, 2, ..., n) літрів свіжої продукції. Економічна задача полягає в тім, щоб визначити, які зливальні пункти якими заводами варто забезпечити, щоб транспортні витрати були мінімальними.
Нехай xij – кількість літрів молока, що поставляється на j-й зливальний пункт i-м заводом, а сij – відповідні транспортні витрати у розрахунку на один літр.
Завод |
Пункт збуту |
|||||||||
1 |
2 |
3 |
|
n |
Пропозиція |
|||||
1 |
c11 |
x11 |
c12 |
x12 |
c13 |
x13 |
|
c1n |
x1n |
S1 |
|
|
|
|
|||||||
2 |
c21 |
x21 |
c22 |
x22 |
c23 |
x23 |
|
c2n |
x2n |
S2 |
|
|
|
|
|||||||
3 |
c31 |
x31 |
c23 |
x23 |
c33 |
x33 |
|
c3n |
x3n |
S3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
m |
Cm1 |
xm1 |
cm2 |
x11 |
Cm3 |
xm3 |
|
cmn |
xmn |
Sm |
|
|
|
|
|||||||
Попит |
D1 |
D2 |
D3 |
|
|
Dn |
|
Рис. 1.2. Транспортний розклад
Математично задача формулюється в такий спосіб:
мінімізувати (1.4)
при обмеженнях
(i = 1, 2, …, m) (для пропозиції), (1.5)
(j = 1, 2, …, n) (для попиту), (1.6)
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.7)
Зручне для використання табличне представлення розглянутої ситуації дане на рис. 1.2. Якщо , так що повний попит, принаймні, не перевищує сумарної пропозиції (тобто повного обсягу фірмою продукції, що випускається), то завжди можна знайти припустимий графік перевезень, коли використовується не більш маршрутів. Як показано у розділі 2, при сформульованих вище умовах існує таке оптимальне рішення, причому таке, що використовується не більше маршрутів.
Завод |
Пункт збуту |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
Пропозиція |
|||||
1 |
c11 |
2 |
c12 |
8 |
c13 |
|
c14 |
|
10 |
|
|
|
|
||||||
2 |
c21 |
|
c22 |
1 |
c23 |
3 |
c24 |
2 |
6 |
|
|
|
|
||||||
3 |
c31 |
|
c23 |
|
c33 |
|
c34 |
15 |
15 |
|
|
|
|
||||||
Попит |
2 |
9 |
3 |
17n |
|
Рис. 1.3. Попереднє допустиме рішення
Для побудови одного з можливих графіків такого роду з числом маршрутів, що не перевищують , варто почати з верхнього лівого (або, як іноді говорять, з північно-західного) кута таблиці і розподіляти продукцію в обсязі S1 по пунктах збуту (починаючи з пункту, споживаного D1 літрів), поки S1 не буде цілком вичерпано. 3атем аналогічні дії проводяться з S2 і т.д. Таблиця на рис. 1.3 є ілюстрацією цієї процедури. Немає необхідності пояснювати, що одержуваний при цьому спробний маршрутний графік може виявитися (і, як правило, виявляється далеко не оптимальним).
Відмітною рисою мережної моделі, обумовленої співвідношеннями (1.4) – (1.7), є те, що у випадку, коли має місце хоча б одне припустиме рішення, завжди існує оптимальне рішення, для якого всі xij приймають цілочисельні значення (за умови, якщо Si і Dj приймають цілі значення).