Плотная выдача
В случае если существует необходимость
построить решение дифференциального
уравнения, отнесенное не к границам
шага
и
,
а к некоторому промежуточному моменту
времени
,
необходимо воспользоваться какой-либо
интерполяционной формулой, которая
может быть, например, сплайном, построенным
на основе известных значений решения
и его производной на границах шага.
Для метода Дормана - Принса 5(4) разработаны непрерывные вложенные формулы. Параметром вычисления служит смещение момента времени относительно начала шага в долях длины шага :
.
Коэффициенты
,
представлены в виде разложения по
степеням параметра
:
Решение, отнесенное к моменту времени
,
может быть получено с использованием
коэффициентов
и значений
(рассчитанных ранее для получения
решения на шаге) из следующего соотношения:
.
Формулы плотной выдачи используются для графического представления результатов интегрирования, для решения уравнений с запаздывающим аргументом, в механизме неявной выдачи.
«Неявная» выдача
…
Интегрирование уравнений с разрывами
…
Определение длины первого шага интегрирования
…
Численное определение частных производных по начальным условиям и параметрам
…
Численное интегрирование случайных процессов
…
Многошаговые методы
Методы Адамса
…
Явные методы Адамса
…
;
;
;
;
…
…
Неявные методы Адамса
…
;
;
;
…
…
Интегрирование уравнений с запаздывающим аргументом
Сравнение вычислительных качеств методов
Для определения работоспособности, ограничений использования, сравнения вычислительных качеств методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений используются задачи с заранее известным решением.
Некоторый набор таких задач представлен ниже в настоящем подразделе.
Задача Аренсторфа
…
где
;
;
; 
.
С начальными условиями:
; 
;
; 
,
решение будет периодическим с периодом:
.
С начальными условиями:
;
;
; 
,
решение будет иметь несколько иной вид, но тоже периодическим с периодом:
.
…
Эллиптические функции Якоби
…
где
; 
; 
.
… на интервале
.
…
Задача двух тел
…
где
с начальными условиями:
;
;
; 
.
… на интервале .
…
Уравнение Ван-дер-Поля
…
,
с начальными условиями:
; 
.
… на интервале .
…
«Брюсселятор»
…
с начальными условиями:
; 
.
… на интервале .
…
Уравнение Лагранжа для висячей струны
…
…
«Плеяды»
…
где
с начальными условиями:
; 
; 
;
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
… на интервале
.
…
Оформление пояснительной записки
Пояснительная записка предполагает наличие следующих разделов (в порядке следования):
Наименование раздела |
Прибл. объем |
Введение |
1 |
Теория |
4 |
Алгоритм |
6 |
Программа |
3 |
Результаты |
2 |