Интеграл вероятностей

Вычисление значений коэффициентов статистической линеаризации основывается на использовании интеграла вероятностей:

.

Быстрый алгоритм вычисления данной функции для положительных с точностью до 4 знаков основывается на разложении в ряды по степеням аргумента для трех его интервалов.

На интервале значений аргумента вычисление интеграла вероятностей основывается на использовании экономизированного ряда:

.

На интервале – с помощью ряда Тейлора:

; ; .

Значение (верхний предел суммирования) определяется из условия:

.

На интервале – с помощью асимптотического ряда, вычисляемого с точностью до :

.

При сумма асимптотического ряда становится практически равной 1.

Расчет значений интеграла вероятностей при отрицательных значениях аргумента основывается на свойстве нечетности этой функции:

.

Т.о. при компьютерной реализации алгоритма, рассчитанного как на положительные, так и отрицательные значения аргумента , удобно воспользоваться следующим соотношением:

.

Другие разновидности интеграла вероятностей, встречающиеся в литературе, могут быть получены путем преобразования рассмотренной выше функции :

; ;

.

Полиномы Чебышева

…

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений

В данном разделе рассмотрены численные методы интегрирования (вычисления значений на интересующем интервале значений свободной переменной ) систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

.

Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых методов решения нежестких¹ задач, использование которых в процессе курсового проектирования представляется предпочтительным.

Методы Рунге-Кутты

Общая формулировка s-стадийного (s-го порядка, s – положительное целое число) метода Рунге - Кутты для решения обыкновенного дифференциального уравнения вида:

на интервале с начальными условиями выглядит следующим образом:

Коэффициенты , , – вещественные константы. Коэффициенты обычно подчиняются условию, принятому Куттой без комментариев:

.

Т.о. любой метод Рунге - Кутты может быть однозначно определен совокупностью этих коэффициентов и символически представлен² посредством таблицы следующего вида:

Приведенные выше выкладки легко обобщаются на случай интегрирования системы, состоящей из n обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае все соотношения остаются справедливыми с точностью до обозначений: , , – векторы, а – вектор-функция размерности n1.

Точность результатов численного интегрирования

Со времен Лагранжа³ и Коши всякий результат, полученный численным методом, принято сопровождать оценкой его точности.

Вложенный метод Дормана-Принса 5(4) порядка

В 1980-м году Дорман и Принс построили вложенный метод 5(4)-го порядка¹, в котором решение 5-го порядка используется в качестве начального значения для следующего шага, а решение 4-го порядка – для определения локальной погрешности выполненного шага интегрирования (с целью последующего использования в механизме управления длинной шага).

Коэффициенты этого метода представлены в следующей таблице:

Управление длиной шага интегрирования

Управление длиной шага интегрирования осуществляется на основе сравнения ошибки вычислений с ограничением на величину локальной погрешности:

,

где

– длина нового шага интегрирования;

– длина выполненного шага интегрирования;

– максимальная относительная допустимая вычислительная ошибка шага интегрирования.

Относительная вычислительная ошибка шага интегрирования рассчитывается с использованием следующего соотношения:

,

где

– относительная вычислительная ошибка шага интегрирования;

– общее количество компонент фазового вектора;

– -я компонента фазового вектора, отнесенного к началу шага интегрирования;

– -я компонента фазового вектора, отнесенного к концу шага интегрирования, рассчитанная с использованием метода 4-го порядка;

– -я компонента фазового вектора, отнесенного к концу шага интегрирования, рассчитанная с использованием метода 5-го порядка (для проверки решения 4-го порядка);

– ошибка округления; минимальное положительное число, удовлетворяющее неравенству: ;

Константы в обоих соотношениях алгоритма управления шагом подобраны таким образом, чтобы уменьшить влияние факторов, не учтенных в приведенных выше соотношениях.