2.5. Теплоемкость газов

Упрощенно говоря, теплоемкостью С тела называют количество теплоты, которое нужно затратить в данном процессе, чтобы нагреть тело на один градус: .

Обычно теплоемкость относят к единице количества вещества и в зависимости от выбранной единицы различают:

• удельную массовую теплоемкость с, отнесенную к 1 кг газа, Дж/(кгК);

• удельную объемную теплоемкость с´, отнесенную к количеству газа, содержащегося в 1 м³ объема при нормальных физических условиях, Дж/(м³К);

• удельную мольную теплоемкость μс, отнесенную к одному киломолю, Дж/(кмольК).

Зависимость между удельными теплоемкостями устанавливается очевидными соотношениями:

с = μс/μ; с ´= сρ_н. (2.13)

Здесь ρ_н – плотность газа при нормальных условиях.

Изменение температуры тела при одном и том же количестве сообщаемой теплоты зависит от характера происходящего при этом процесса, поэтому теплоемкость является функцией процесса. Это означает, что одно и то же рабочее тело в зависимости от процесса требует для своего нагревания на 1 К различного количества теплоты. Численно величина с изменяется в пределах от + ∞ до – ∞.

В термодинамических расчетах большое значение имеют:

• теплоемкость при постоянном давлении

с_p = δq_p/dT, (2.14)

равная отношению количества теплоты δq_p, подведенной к телу в процессе при постоянном давлении, к изменению температуры тела dT;

• теплоемкость при постоянном объеме

с_v = δq_v /dT, (2.15)

равная отношению количества теплоты δq_v , подведенной к телу в процессе при постоянном объеме, к изменению температуры тела dT.

В соответствии с первым законом термодинамики для закрытых систем δq = du + pdv.

С учетом того, что (соотношения (2.1))

Δq = (∂u/∂T)_vdT + [(∂u/∂v)_T + p]dv. (2.16)

Для изохорного процесса (v=const) это уравнение принимает вид , и, учитывая (2.15), получаем, что

c_v = (∂u/∂T)_v. (2.17)

Для идеального газа (уравнение 2.2), поэтому

c_v = du/dT. (2.18)

Для изобарного процесса (р=const) из уравнений (2.16) и (2.14) получаем

c_p = (∂u/∂T) _v + [(∂u/∂v)_T + p](dv/dT)_p

Поскольку внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой и не зависит от удельного объема, то

. (2.19)

Из уравнения Клапейрона (1.4) pv = RT (1.3) следует , откуда

c_p = с_v + R. (2.20)

Соотношение (2.20) называется уравнением Майера и является одним из основных в технической термодинамике идеальных газов.

В процессе v=const теплота, сообщаемая газу, идет лишь на изменение его внутренней энергии, тогда как в процессе р = const теплота расходуется и на увеличение внутренней энергии и на совершение работы расширения. Поэтому c_p больше с_v на величину этой работы.

Формула определяет так называемую истинную теплоемкость, т. е. значение теплоемкости при данной температуре. На практике теплоемкость широко используется для подсчета количества теплоты q₁₂, которое необходимо затратить, чтобы нагреть тело от одной температуры (t₁) до другой (t₂) (или которое выделится при охлаждении от t₂ до t₁).

Если в указанном диапазоне температур теплоемкость не изменяется, то

, кДж/кг и , кДж. (2.21)

Эту формулу можно применять и для приблизительных (не очень точных) расчетов. Например, удельная теплоемкость воды при комнатной температуре равна 4,187 кДж/(кгС), а воздуха 1 кДж/(кгС). Поскольку теплоемкость почти всех веществ изменяется (чаще всего возрастает) с ростом температуры, нужно, строго говоря, использовать формулу

. (2.21а)

На рис. 2.2 величина q₁₂ изображена заштрихованной площадкой. Казалось бы проще всего, применив теорему о среднем, записать

, (2.22)

где – среднее значение теплоемкости в диапазоне температур t₁…t₂.

Рис. 2.2. Зависимость истинной теплоемкости от температуры

Однако для реальных расчетов такая запись очень неудобна, поскольку величину теплоемкости выбирают из таблиц, а зависит как от t₁, так и от t₂. Таблица функции от двух аргументов получилось бы очень громоздкой.

На практике поступают следующим образом. Искомое количество теплоты представляют в виде разности между ее количествами, необходимыми для нагрева тела от 0 С до температур t₂ и t₁ соответственно (рис. 2.2)

. (2.23)

Тогда

, (2.24)

где - средняя теплоемкость в диапазоне температур 0…t С.

Величина средней теплоемкости для данного вещества (и данного процесса, т.е. с_р или c_v) зависит лишь от одной температуры t. Именно эти теплоемкости и приводятся во всех таблицах под названием «средние». Сказанное справедливо как для с (с_р и c_v), так и для с и с. В качестве примера в таблице, приведенной ниже, дана зависимость теплоемкости от температуры для некоторых наиболее распространенных газов. Нужно подчеркнуть, что в формуле (2.24) температура подставляется в градусах Цельсия.

Средняя молярная теплоемкость различных газов при р=const

(по данным М.П. Вукаловича, В.А. Кириллина, В.Н. Тимофеева)

t, C	ср, кДж/(кмольК)
	О2	N2 атмосферный	Н2	СО	СО2	SО2	H2O	Воздух
0	29,278	29,022	28,621	29,127	35,865	38,859	33,503	29,077
100	29,542	29,052	28,939	29,181	38,117	40,659	33,746	29,156
200	29,935	29,135	29,077	29,307	40,065	42,334	34,123	29,303
300	30,404	29,290	29,127	29,521	41,760	43,883	34,579	29,525
400	30,882	29,504	29,109	29,793	43,255	45,223	35,094	29,793
500	31,338	29,768	29,253	30,103	44,579	46,396	35,634	30,099
600	31,765	30,048	29,320	30,429	45,759	47,359	36,200	30,408
700	32,155	30,346	29,412	30,756	46,819	48,238	36,794	30,727
800	32,506	30,639	29,521	31,074	47,769	48,950	37,397	31,032
900	32,829	30,928	29,650	31,380	48,624	49,620	38,013	31,325
1000	33,122	31,200	29,793	31,669	49,398	50,165	38,624	31,602
1100	33,390	31,459	29,948	31,941	50,106	50,667	39,231	31,866
1200	33,637	31,711	30,111	32,196	50,747	51,086	39,830	32,113
1300	33,867	31,945	30,291	32,431	51,329	---	40,412	32,347
1400	34,081	32,167	30,471	32,657	51,865	---	40,482	32,569
1500	34,286	32,376	30,651	32,862	52,355	---	41,530	32,778
1600	34,479	32,369	30,836	33,055	52,807	---	42,062	32,971
1700	34,663	32,753	31,016	33,235	53,226	---	42,581	33,155
1800	34,839	32,921	31,196	33,407	53,611	---	43,075	33,323
1900	35,010	33,084	31,376	33,566	53,967	---	43,544	33,486
2000	35,174	33,235	31,552	33,712	54,298	---	44,001	33,645
2100	35,333	33,381	31,727	33,855	54,603	---	44,399	33,792
2200	35,488	33,520	31,895	33,984	54,888	---	44,856	33,930
2300	35,638	33,645	32,062	34,110	55,152	---	45,261	34,064
2400	35,789	33,683	32,226	34,227	55,399	---	45,651	31,190
2500	35,932	33,880	32,389	34,340	55,624	---	46,023	34,311

В этой таблице величины с_р приведены через 100 С. Поскольку они не сильно меняются с температурой, промежуточные величины можно находить путем линейной экстраполяции. Напомним, как это делается. Имеются табличные значения функции y = f(x) у₁ (при х = х₁) и у₂ (при х = х₂). Значение функции у(х) при х₁<х<х₂ равно . Эта формула верна как для монотонно возрастающей функции (когда у₂>у₁), так и для монотонно убывающей (у₂<у₁); в этом случае дробь будет отрицательной, так как х₂ > х₁ всегда.