2. Свободные затухающие колебания в

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ.

Если в электрическом контуре имеется активное сопротивление R, то в нем наблюдаются затухающие колебания, т.е. колебания в которых амплитуды тока, напряжения и заряда со временем уменьшаются. При этом суммарная энергия электрического и магнитного полей постепенно превращается в тепловую энергию, по закону Джоуля-Ленца. Полная энергия контура

W_E + W_B + W_Q = Q²/(2C) + (Q^/)²Rt +(Q^/)².(L/2) = const.

где Q²/(2C) - энергия электростатического поля,

(Q^/)²Rt - джоулева энергия и (Q^/)².(L/2) - энергия магнитного поля. Продифференцируем уравнение полной энергии по t

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)².R + (L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² = 0.

Упростим выражение, приведя подобные величины

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d²Q/dt² = 0. или

d²Q/dt² + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = 0,

d²Q/dt² + 2d.dQ/dt + w²₀.Q = 0,

где w - 1/LC) собственная частота контура, d - (R/2L) коэффициент затухания. Из решения дифф. уравнения следует, что колебания заряда совершаются по закону:

Q = Q_max.e^-dt.cos(wt),

с частотой

w = Ö(1/LC - R²/4L²)

меньшей собственной частоты контура w₀. Логарифмический декремент затухания определяется формулой

J = ln[Q(t)/Q(t + T)] = dT.

Сила тока в любой момент времени определяется как dQ/dt, а колебания тока совершаются по закону

I = I_max.e^-dsin(wt) = I_max.e^-dt.cos(wt + p/2).

При увеличении коэффициента затухания d период затухающих колебаний Т растет и при d = w₀ обращается в бесконечность и процесс не будет периодическим.

.Характер изменения амплитуды колебаний

U_m = U₀

может быть представлен графически (рис. 2).

Отношение двух последовательных амплитуд U_mk и U_m(k+1) (7), отстоящих друг от друга во времени на период колебания Т:

= =

и называется декрементом затухания.

Соответственно логарифм этого отношения

ln =

называется логарифмическим декрементом затухания.

Б. Порядок выполнения работы.

Колебания в контуре наблюдаются с помощью осциллографа ОЭ. Для возбуждения колебаний служит звуковой генератор Г3-111.

На экране осциллографа мы будем наблюдать затухающие колебания (рис 4)

Время развёртки , где:

Vp- частота развёртки, задаваемая звуковым генератором Г3-111.

На экране ей соответствует отрезок Xo, характеризующий протяжённость всей развёртки.

T –период колебаний, которому соответствует отрезок X, характеризующий протяжённость одного полного колебания. Можно составить пропорцию:

Тогда период колебаний в контуре: (7)

Для выполнения работы необходимо

1. При сопротивлении магазина R=100 ом определить x и на экране осциллографа и по формуле (7) вычислить период колебаний T. гц.

2. Измерить амплитуды первых 2х-3х колебаний при различных сопротивлениях магазина. (Rm=100,200,300,400,500 ом )

3. Рассчитайте логарифмический декремент затухания по формуле 5.

4. Рассчитайте коэффициент затухания B , используя формулу 6,

5. Постройте график зависимости от сопротивления магазина Rm. Продолжите график до пересечения с осью сопротивлений Rm и определение сопротивления катушки Rk. (Ao=Rk).Полное сопротивление контура :

6. Используя формулу (6), определите индуктивность контура

(8).

7. Ёмкость контура С может быть найдена из формулы Томсона :

(9)

Контрольные вопросы.

1. Что такое индуктивность и от чего она зависит?

2. Что такое колебательный контур?

3. Запишите правила Кирхгоффа.

4. Что такое явление электромагнитной индукции?

5. Запишите уравнение электрического колебания?

6. Какие колебания являются затухающими?

7. Какова причина затухания колебаний?

8. Выведите уравнение затухающих колебаний?

9. Что называется Логарифмическим декрементом затухания?

10. Чему равен коэффициент затухания ?

11. Частота, период, амплитуда колебаний.

12. Объяснить характер зависимости затухания колебаний от сопротивления колебательного контура R.

13. Как можно компенсировать расход энергий в колебательном контуре?

14. Какое влияние оказывает индуктивность колебательного контура на коэффициент затухания?

ОТЧЕТ по Лабораторной работе № 17-1. Б-207.

ИССЛЕДОВАНИЕ 3АТУXAЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ.

Цель работы: изучение затухающих колебаний.

Приборы и принадлежности. Осциллограф, колебательный контур.

Выполнил. Студент группы.

Основные формулы.

ln =

период колебаний в контуре: (7)

(9)

Таблица 1.

Rm	Um1	Um2		X	X0	Tc	B	Rk	Rom	Lгн	Сф
10
100
200
300

Дата выполнения лабораторной работы.

Подпись Преподавателя.

Лабораторная работа 17

Изучение законов переменного электрического тока

Задание Ι

Изучение затухающих электрических колебаний

Цель работы : изучение параметров и характеристик колебательного контура .

Краткая теория

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора емкости С и катушки индуктивностью L (рис.1). При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и тока в катушке . Переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве со скоростью света C. Поэтому если линейные размеры в контуре не слишком велики ( l<<C/ν ) , то мгновенные значения силы тока во всех частях контура одинаковы. Такой переменный ток называется квазистационарным и для него выполняются законы постоянного тока.

Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением R, поэтому энергия непрерывно расходуется на выделение тепла Джоуля-Ленца. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно уменьшается и в нем происходят затухающие колебания (рис.2). При достаточно большом сопротивлении или малой индуктивности контура колебания в нем вообще не возникают, а происходит так называемый апериодический разряд конденсатора (рис.3).

Формально конденсатор в колебательном контуре эквивалентен источнику тока , э.д.с. которого в каждый момент времени равна напряжению на обкладках конденсатора . Поэтому по второму закона Кирхгофа для колебательного контура можно записать

где -э.д.с. самоиндукции ,

(знак минус состоит потому , что выбранное положительное положение направление соответствует уменьшению заряда конденсатора ).

Так как , то и

Подставляя последние выражения в (Ι) , находим уравнение для в виде

Введем следующие обозначение :

• коэффициент затухания ;

• собственная частота колебательного контура

Тогда окончательно имеем

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания . Его решение имеет вид

где – амплитуда затухающих колебаний ;

• начальная фаза ;- частота затухающих колебаний .

Из последнего выражения для следует , что в контуре возможны затухающие колебания лишь в том случае , если , т.е или . Если , то частота – мнимая величина , следовательно , колебаний нет и происходит апериодический разряд конденсатора (рис.3) . Сопротивление называется критическим .

Для характеристики степени затухания колебаний кроме коэффициента затухания используют также логарифмический декремент затухания .

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина , равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени и ( - период колебаний ):

Или (4)

В ряде случаев удобно изучать колебательный процесс в системе координат и , т.е. откладывать по оси абсцисс величину тока в данный момент времени , а по оси ординат – напряжение на конденсаторе в тот же момент времени.

Плоскость называется плоскостью состояний или фазовой плоскостью , а кривая – фазовой кривой (рис.4).

Найдем фазовую кривую для контура , сопротивление которого =0. В этом случае =0 ; . Тогда значения и будут

(5)

Уравнения (5) описывают незатухающие колебания. Исключив из них время , получим уравнение фазовой кривой

Это есть уравнение эллипса , которое получается в результате сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний (5) , сдвинутых по фазе на четверть периода .

В контуре , сопротивление которого =0 , происходят затухающие колебания напряжения и тока :

В этом случае амплитуды напряжения и тока в контуре непрерывно убывают, не повторяясь через период времени, и фазовая кривая получается не замкнутой (рис.4).

В данной работе для получения электрических колебаний используется кассета «ФПЭ-10» с контуром (рис.5).

На рис.5 обозначено :

1 - - генератор звуковых сигналов ГЗ- 111;

2- РО – осциллограф электронный учебный ОЭУ;

3- ФПЭ – 10/3 – кассета с контуром ;

4- ПИ/ФПЭ – преобразователь импульсов ;

5- ИП – источник питания ;

6- МС – магазин сопротивлений .

Происходящие в контуре затухающие колебания (рис. 2).

Наблюдаются на экране осциллографа ОЭУ. Цикл заряжения и разряжения конденсатора длится, где – частота,

Задаваемая звуковым конденсатором ГЗ-111. На экране осциллографа ему соответствует отрезок . Это позволяет определить период затухающих колебаний , которому на рис. 2 соответствует отрезок . Из пропорции получаем

(7)