20

Лабораторная работа 17-1. Б-207.

ИССЛЕДОВАНИЕ 3АТУXAЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ.

А. Основные понятия.

1. Гармонические колебания в

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ.

Электрический колебательный контур - это цепь, состоящая из включенных последовательно индуктивности L, емкости C и сопротивления R. В контуре наблюдаются электромагнитные колебания, при которых электрические и магнитные величины (токи, напряжения, заряды) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных полей. В начальный момент времени t = 0 энергия электрического поля между обкладками конденсатора равна

W_Э = Q²/(2C).

При замыкании конденсатора на катушку индуктивности L, по цепи потечет изменяющийся по времени электрический ток I и конденсатор начнет разряжаться. В индуктивности возникнет магнитное поле, энергия которого будет увеличиваться до

W_М = (Q^/)².L/2 = (LI²)/2.

При R = 0 согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура в любой момент времени будет постоянной и равной

W = W_Э + W_М = Q²/(2C) + (Q^/)².(L/2) = const.

В момент времени t = T/4, конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля станет равной 0, а энергия магнитного поля (и ток) будет максимальной. После этого ток в контуре будет убывать, будет уменьшаться и энергия магнитного поля. Но, по правилу Ленца, индуктивный ток в катушке будет продолжать течь в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться с противоположной первоначальной полярностью поля. Увеличивающееся электростатическое поле будет ослаблять ток индукции, который к t = T/2 станет равным 0, а заряд на обкладках конденсатора станет максимальным, т.е. равным по величине первоначальному (но противоположной полярности).

После этого начнется обратный процесс, протекающий по такому же механизму. К t = T, система вернется к первоначальному состоянию, и процесс начнется снова. В контуре возникнут электрические колебания, сопровождающиеся изменениями величин зарядов (на конденсаторе), токов и напряжений (в цепи) и превращениями энергий электростатического и магнитного полей.

Со временем энергия в отдельных частях колебательного контура меняется. Продифференцируем уравнение энергии

W = Q²/(2C) + (Q^/.)².(L/2)

по времени, вспомнив что

Q^/ = dQ/dt. dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt +(L/2).2.dQ/dt.d²Q/dt² =0.

Упростим выражение, приведя подобные величины, и получим

d²Q/dt² + (1/LC).Q = 0,

дифференциальное уравнение относительно Q. Из него получим

Q = Q_max.cos(w₀t).

Заряд Q совершает гармонические колебания, где Q_max. - амплитуда заряда, w₀ — циклическая частотой контура равная

w₀ = 1/Ö(LC).

Период колебаний заряда в контуре определяется по формуле

Т = 2pÖ(LC).

Силу тока в колебательном контуре легко найти по формуле

I = dQ/dt = -w₀Q_max.sin(w₀t) = I_max.cos(w₀t + p/2),

где I_max. = w₀Q_max. — амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

U_C = Q/C = Q_max./C.cos(w₀t) = U_max.cos(w₀t),

где U_max. = Q_max./C — амплитуда напряжения. Из уравнений для тока и напряжения следует, что колебания тока опережают по фазе колебания заряда и напряжения на угол p/2, т.е. когда ток в контуре максимален заряд и напряжение на конденсаторе равны нулю.