Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лаб.17-2..DOC
Скачиваний:
1
Добавлен:
10.08.2019
Размер:
184.83 Кб
Скачать

8

Лабораторная работа № 17 - 2. Б – 207.

ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ.

Краткая теория.

1. Свободные затухающие колебания в

ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ.

Если в электрическом контуре имеется активное сопротивление R, то в нем наблюдаются затухающие колебания, т.е. колебания в которых амплитуды тока, напряжения и заряда со временем уменьшаются. При этом суммарная энергия электрического и магнитного полей постепенно превращается в тепловую энергию, по закону Джоуля-Ленца. Полная энергия контура

WE + WB + WQ = Q2/(2C) + (Q/)2Rt +(Q/)2.(L/2) = const.

где Q2/(2C) - энергия электростатического поля,

(Q/)2Rt - джоулева энергия и (Q/)2.(L/2) - энергия магнитного поля. Продифференцируем уравнение полной энергии по t

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)2.R + (L/2).2.dQ/dt.d2Q/dt2 = 0.

Упростим выражение, приведя подобные величины

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d2Q/dt2 = 0. или

d2Q/dt2 + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = 0,

d2Q/dt2 + 2.dQ/dt + 20.Q = 0,

где - 1/LC) собственная частота контура, - (R/2L) коэффициент затухания. Из решения дифф. уравнения следует, что колебания заряда совершаются по закону:

Q = Qmax.e-t.cos(t),

с частотой

= (1/LC - R2/4L2)

меньшей собственной частоты контура 0. Логарифмический декремент затухания определяется формулой

= ln[Q(t)/Q(t + T)] = T.

Сила тока в любой момент времени определяется как dQ/dt, а колебания тока совершаются по закону

I = Imax.e-sin(t) = Imax.e-t.cos(t + /2).

При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний Т растет и при = 0 обращается в бесконечность и процесс не будет периодическим.

2. Дифференциальные уравнения

ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Для получения в реальной колебательной системе незатухающих колебаний, возможно только с помощью внешнего источника энергии, подающего эту энергию периодически, чаще всего, по гармоническому закону

Wвнеш. = W0.cos(t).

Тогда уравнение для энергии в колебательном контуре:

WE + WB + WQ = Wвнеш.

С учетом выражений для энергий на конденсаторе, сопротивлении и индуктивности, после дифференцирования по времени, получим:

dW/dt = (1/2C).2Q.dQ/dt + (dQ/dt)2.R + (L/2).2.dQ/dt.d2Q/dt2 =

= W0..cos(t).

Упростим выражение, приведя подобные величины с учетом того, что W0 можно записать, как (U0.I)/ и получим

(1/C).Q + dQ/dt.R + (L).d2Q/dt2 = U0сos(t) или

d2Q/dt2 + 2(R/2L).dQ/dt + (1/LC).Q = (U0/L).cos(t), и

d2Q/dt2 + 2.dQ/dt + 20.Q = (U0/L).cos(t).

Колебания, возникающие под действием внешнего периодически меняющегося напряжения, называются вынужденными. Решение такого дифференциального уравнения находится как СУММА общего решения однородного дифф. уравнения и частного решения неоднородного дифф. уравнения. Частное решение ищем в комплексном виде. Для этого, заменим правую часть нашего уравнения на комплексную величину

(U0/L).ei.t =Q0.ei.t

d2Q/dt2 + 2.dQ/dt + 20.Q = (U0/L).ei.t. или

d2Q/dt2 + 2.dQ/dt + 20.Q = Q0.ei.t

Частное решение уравнения будем искать в виде

Q = Q0.ei.t.

Подставляя это выражение для Q и его производных

dQ/dt = iQ0.ei.t и

d2Q/dt2 = - 2Q0.ei.t

в наше дифференцивльное уравнение, получим:

Q.ei.t (-2 + 2i + 20 ) = Q0.ei.t.

Такое равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время должно быть из него исключено. Значит, =. С учетом этого, найдем Q0 и умножив ее числитель и знаменатель на (20 - 2 - 2i):

Q0 = (U0/L)/(20 - 2 - 2i) =

= (U0/L).{(20 - 2 - 2i)/[(20 - 2)2 + 422]}.

Комплексное число удобно записать в экспоненциальной форме

Q0 = Qm..e-i, где

Qm. = (Um./L)/[(20 - 2) + 422], a

= arctg[(2)/(20 - 2)].

И решение уравнения в комплексной форме примет вид

Q = Qm.ei(t - ).

С учетом

20 = 1/(LC) и

= R/(2L) получим:

Qm. = Um./{[R2 + (L - 1/C)2]}, и

tg = R/[1/(C) - L].

Продифференцировав Q = Qm.cos(t - ) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

I = - Qm.sin(t - ) = Im.cos(t - + /2), где

Im. = Qm. = Um./[R2 + (L - 1/C)]. или

I = Im.cos(t -),

где = ( - /2) — сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. Для

tg = tg( - /2) = - 1/tg = (L - 1/C)/R].

Из последнего выражения следует ряд выводов. Если L > 1/C то ток отстает по фазе от напряжения, т.е. > 0, если же

L < 1/C, то ток опережает напряжение, т.е. < 0.

Проанализируем зависимость амплитуды заряда Q от частоты электромагнитных колебаний. При определенном (резонансном) значении частоты амплитуда заряда достигает максимума. Для нахождения этой частоты находим максимум функции Q, продифференцируем подкоренное выражение по частоте и приравняем полученное нулю.

- 4(20 - 2) + 82 = 0,

Это равенство выполняется при значениях частоты,

= 0 или +- (20 - 22) ,

у которых, только положительные значения имеют физический смысл. Реальная резонансная частота вынужденных колебаний в контуре отличается от частоты собственной 0.

рез. = (20 - 22)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]