
- •Дифференциальные уравнения Введение
- •Дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Теорема о существовании единственности решения дифференциального уравнения 1 порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка
- •Уравнения Бернулли
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Дифференциальные уравнения 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n
- •Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства
- •Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n
- •Линейные однородные ду порядка n с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные ду
- •Линейные неоднородные ду 2 порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
- •Решение систем линейных ду 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
- •Раздел: «Ряды» Числовые ряды
- •Элементарные свойства рядов
- •Признаки сходимости
- •Числовые ряды с положительными членами
- •1Й признак сравнения
- •II признак сравнения (предельный)
- •Знакочередующиеся числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Признак Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Метод нахождения интервала сходимости степенного ряда
- •Равномерная сходимость степенного ряда
- •Степенной ряд по степеням х-а
- •Ряды Тейлора
- •Единственность разложения функции в ряд Тейлора
- •Условия разложимости функции в ряд Тейлора
- •Ряды Маклорена
- •Приближенное вычисление с помощью рядов Тейлора и Маклорена
- •Тригонометрические ряды Фурье
- •Тригонометрический ряд Фурье от четных и нечетных функций и на интервале
- •Тригонометрический ряд Фурье на интервале
- •Ряды Фурье на интервале
Решение систем линейных ду 1 порядка с постоянными коэффициентами способом подстановки
Рассмотрим систему ДУ
,
где a,b,c,d
– числа.
-
искомая функция
-
функции переменной х
продифференцируем по переменной х первое уравнение системы:
Дифф.(1)
Подставим из (2)
подставим из (1)
перенесем слагаемые
с
и
налево
получим линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами. Решая это уравнение получим , продифференцируем и найдём .
Пример:
1)
начальные условия:
Раздел: «Ряды» Числовые ряды
Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:
числовым рядом
называется выражение
,
где
– общий член ряда.
Пример:
-знакоположительный
ряд
-знакочередующийся
ряд
Последовательность
,
где
;
;
- последовательность
частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд
называется
сходящимся,
если существует конечный
,
то ряд называется расходящимся
и суммы S
не имеют.
1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.
,
где n
– частичная сумма ряда
-
сумма n
первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1)
геометрическая
прогрессия убывающая.
сходится
и имеет сумму
2)
3)
=
не существует – ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической
прогрессии сходится если
и
расходится
Элементарные свойства рядов
1)
Если
(1)
сходится и имеет
сумму S,
то
(2)
тоже сходится, и
имеет сумму CS,
где С-const.
Доказательство:
Пусть
,
n–
ая частичная сумма 1 ряда.
,
n–ая
частичная сумма 2 ряда.
Т.к 1 ряд сходится,
то
.
Рассмотрим
(2)
ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если (1) сходится с суммой S1, и (2) сходится с суммой S2.
тоже
сходится с суммой
.
Доказательство:
Обозначим
- n
– частичная сумма 1 ряда.
- n
– частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда
и
сумма
.
Конец доказательства.
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
,
где
-
n
– частичная сумма
- n
– остаток ряда.
n
– остаток ряда
тоже
является рядом.
Если
,
то и его остаток
тоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание :
1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание: 1+3+5+7+9+11
4) Если
сходится
с суммой S
.
Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.