Характеристики розподілу випадкової величини

Щоб охарактеризувати випадкову величину достатньо задати її функцію розподілу. Однак в багатьох практичних задачах ця інформація є занадто повною, достатньо знати лише деякі числа, що характеризують розподіл, тобто числові характеристики розподілу. Такими характеристиками є математичне сподівання, дисперсія, середньо квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес, квантилі.

Математичне сподівання випадкової величини

Математичним сподіванням дискретно розподіленої випадкової величини будемо називати суму добутків значень випадкової величини на їх імовірності.

(ІІ.7)

Приклад 7. Знайти математичне сподівання випадкової величини, якою є кількість очок, що випадає при киданні грального кубика.

Розв’язання: Розподіл вказаної випадкової величини має вигляд

хі	1	2	3	4	5	6
рі	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тому користуючись формулою (ІІ.7) знаходимо

.

Математичним сподіванням скалярної неперервно розподіленої випадкової величини будемо називати інтеграл по всій дійсній осі від добутку випадкової величини на її щільність розподілу.

. (ІІ.8)

Приклад 8. Знайти математичне сподівання випадкової величини Т, заданої функцією розподілу .

Розв’язання: Продиференціювавши знаходимо щільність розподілу випадкової величини Т :

.

Далі за формулою (ІІ.8) отримуємо . Виконавши команду Maple: int(2*t/(1+t)^4,t=0..infinity);, знаходимо МТ = 0,5.

Математичне сподівання випадкової величини має такі властивості.

1. Математичне сподівання сталої випадкової величини дорівнює цій величині.(Мс = с, де с = const).

2. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань. (M(X + Y) = MX + MY).

3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань. (M(X  Y)=MX  MY).

4. Сталу величину можна виносити за знак математичного сподівання. (M(сX) = сMX, де с = const).

5. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання дорівнює нулеві. (М(Х – МХ) = 0).

Різниця між випадковою величиною і її математичним сподіванням називається центрованою випадковою величиною. Властивість 5 дозволяє стверджувати, що математичне сподівання центрованої випадкової величини дорівнює нулеві.

Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання.

Отже, для обчислення дисперсії дискретно розподіленої випадкової величини маємо формулу

, (ІІ.9)

а для обчислення дисперсії неперервно розподіленої випадкової величини, щільність розподілу якої дорівнює , — формулу

. (ІІ.10)

Величина називається середнім квадратичним (або стандартним) відхиленням випадкової величини Х.

Приклад 9. Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкових величин з прикладів 7 і 8.

Розв’язання: Використовуючи формулу (ІІ.9) та знайдене у прикладі 7 значення математичного сподівання, для дисперсії кількості очок, що випадають при киданні грального кубика, отримуємо

.

Для неперервно розподіленої випадкової величини з прикладу 8 маємо

. Виконавши команду Maple: int(3*(t-1/2)^2 /(t+1)^4,t=0..infinity);, отримаємо DX = 0,75, а .

Дисперсія випадкової величини має такі властивості.

1. Дисперсія сталої величини дорівнює 0.

2. Сталий множник можна виносити в квадраті за знак дисперсії

D(cX) = c²DX.

3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій.

4. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці математичного сподівання квадрата випадкової величини і квадрата її математичного сподівання

.

Дійсно, .

Випадкова величина називається нормованою випадковою величиною. Її математичне сподівання , а дисперсія .

Числа

(ІІ.11)

та

(ІІ.12)

називаються відповідно асиметрією та ексцесом випадкової величини Х.

Зауважимо, що математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, асиметрія, ексцес випадкової величини існують не завжди. Наприклад, для випадкової величини із щільністю жодна з цих величин не існує.