Лабораторная работа № 6 Вычисление плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам точек. Плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера

Поверхность земного эллипсоида не может быть изображена на плоскости без разрывов или без искажений. В геодезии наиболее выгодной считается равноугольная (конформная) проекция, в которой обеспечивается отсутствие искажений углов и сохранение подобия бесконечно малых фигур. При этом масштаб изображения по осям Х и У (m_x и m_y) увеличивается при удалении точек от оси абсцисс, но в каждой точке проекции не зависит от направления и составляет:

(6.1)

где Y – удаление точки от осевого меридиана; R – средний радиус кривизны эллипсоида в данной точке.

В системе плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера поверхность эллипсоида разбита меридианами на координатные зоны шириной по 6⁰ по долготе. Каждая из этих зон изображается на плоскости независимо от остальных, образуя самостоятельную систему координат. Осями координат служат изображения осевого меридиана зоны и экватора.

Крайним западным меридианом первой зоны является Гринвичский меридиан. Долгота осевого меридиана координатных зон вычисляется по формуле:

(6.2)

где N – номер координатной зоны (счет зон ведется от Гринвичского меридиана на восток), определяется по формуле: N = ОКРУГЛВВЕРХ(L/6°)

6° – ширина координатной зоны (в градусах);

L – геодезическая долгота точки (в градусах).

ОКРУГЛВВЕРХ – означает, что номер зоны необходимо округлять в большую сторону до ближайшего целого значения независимо от величины дробной части. Например, точка с долготой 18°00′17″ расположена в координатной зоне с долготой осевого меридиана

Координатные зоны совпадают с колоннами листов карт масштаба 1:1000000, а номер зоны (N) на 30 меньше номера соответствующей колонны листов карт.

Для однозначного определения положения точки и получения только положительных значений ординат ось абсцисс переносят на 500 км на запад от осевого меридиана и перед ординатой записывают № координатной зоны. Следовательно, ордината определяется по формуле:

У = N_зоны ×1000000м + 500000м + у (6.3)

где N_зоны – номер координатной зоны; у – удаление точки от осевого меридиана. Например, точка расположена в координатной зоне № 7 на удалении 11500 м от осевого меридиана на запад (у = -11500 м), тогда:

у = 7000000 м + 500000 м – 11500 м = 7488500 м.

Вычисление плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам точек

При известных значениях геодезических координат точек на поверхности земного эллипсоида (B, L) плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера (х, у) вычисляются по формулам:

(6.4)

где Х – длина дуги меридиана от экватора до точки с широтой В

N – радиус кривизны первого вертикала в точке с широтой В;

разность между долготой данной точки и долготой осевого меридиана координатной зоны.

Задание 6.1 Определить плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера вершин съёмочной трапеции по их геодезическим координатам:

В₁ = 31° 00', L₁ = 66° 00',

В₂ = 31° 20', L₂ = 66° 30'.

Решение.

• Вычислить длину дуги меридиана от экватора до точек с геодезическими широтами B₁, и B₂ по формуле:

где:

Для рассматриваемого примера имеем:

3431035,2629; 3467993,3550

• Контроль вычислений произвести по формулам:

,

где:

• Вычислить плоские прямоугольные координаты Гаусса-Крюгера вершин съёмочной трапеции по формулам:

где:

Для рассматриваемого примера имеем:

Таблица 4

Обозначения	вершины трапеции
	ЮЗ	СЗ	СВ	ЮВ
В	31° 00'	31° 20'	31° 20'	31° 00'
L	66° 00'	66° 00'	66° 30'	66° 30'
№ зоны	12	12	12	12
L0	69°	69°	69°	69°
l = L - L0 ,рад	-0,052359878	-0,052359878	-0,043633231	-0,043633231
sin B	0,5150380749	0,5200161279	0,5200161279	0,5150380749
cos B	0,8571673007	0,8541564416	0,8541564416	0,8571673007
N	6383914,919	6384025,203	6384025,203	6383914,919
ХoB	3431035,275	3467993,367	3467993,367	3431035,275
t = tg B	0,6008606190	0,6088066572	0,6088066572	0,6008606190
η2	0,0049510357	0,0049163151	0,0049163151	0,0049510357
Х	3434901,622	3471883,411	3470694,143	3433719,593
y	-286579,527	-285576,477	-237965,032	-238800,507
Y	12213420,473	12214423,523	12262034,968	12261199,493

• Контроль вычисления координат вершин съёмочной трапеции произвести по формулам:

(6.4)

где:

(6.5)

Для рассматриваемого примера имеем:

Таблица 5

Обозначения	вершины трапеции
	ЮЗ	СЗ	СВ	ЮВ
B	31° 00'	31° 20'	31° 20'	31° 00'
L	66° 00'	66° 00'	66° 30'	66° 30'
№ зоны	12	12	12	12
L0	69	69	69	69
l, рад.	-0,052359878	-0,052359878	-0,043633231	-0,043633231
ХoB	3431035,275	3467993,367	3467993,367	3431035,275
N	6383914,919	6384025,203	6384025,203	6383914,919
η2	0,004951036	0,004916315	0,004916315	0,004951036
t	0,600860619	0,608806657	0,608806657	0,600860619
n	0,001678979	0,001678979	0,001678979	0,001678979
α	6367558,497	6367558,497	6367558,497	6367558,497
β	-0,002518466	-0,002518466	-0,002518466	-0,002518466
γ	2,64278E-06	2,64278E-06	2,64278E-06	2,64278E-06
δ	-3,44788E-09	-3,44788E-09	-3,44788E-09	-3,44788E-09
ε	4,88902E-12	4,88902E-12	4,88902E-12	4,88902E-12
B, рад.	0,541052068	0,546869832	0,546869832	0,541052068
X	3434901,622	3471883,411	3470694,143	3433719,593
y	-286579,5267	-285576,4773	-237965,032	-238800,5068
Y	12213420,473	12214423,523	12262034,968	12261199,493

• При вычислении на ЭВМ плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера по геодезическим координатам точек на поверхности референц-эллипсоида Красовского используют формулы:

(6.6)

где вспомогательные коэффициенты вычисляются по формулам:

Для рассматриваемого примера имеем: Таблица 5

Обозначения	ЮЗ	СЗ	СВ	ЮВ
L	66° 00' 00"	66° 00' 00"	66° 30' 00"	66° 30' 00"
№ зоны	12	12	12	12
L0	69	69	69	69
l, град.	-3° 00' 00"	-3° 00' 00"	-2° 30' 00"	-2° 30' 00"
l, рад.	-0,052359878	-0,052359878	-0,043633231	-0,043633231
B	31° 00' 00"	31° 19' 60"	31° 19' 60"	31° 00' 00"
sinB	0,5150381	0,5200161	0,5200161	0,5150381
cosB	0,8571673	0,8541564	0,8541564	0,8571673
cos2B	0,7347358	0,7295832	0,7295832	0,7347358
N	6383914,919	6384025,203	6384025,203	6383914,919
a0	32041,35333	32042,0453	32042,0453	32041,35333
a3	0,078851439	0,077125448	0,077125448	0,078851439
a4	0,143384334	0,142077182	0,142077182	0,143384334
a5	-0,006354049	-0,007013116	-0,007013116	-0,006354049
a6	0,027895081	0,027075429	0,027075429	0,027895081
X	3434901,622	3471883,411	3470694,144	3433719,593
y	-286579,527	-285576,477	-237965,032	-238800,507
Y	12213420,473	12214423,523	12262034,968	12261199,493