Лабораторная работа 2. Системы координат в высшей геодезии.

С истема прямоугольных пространственных координат X, Y, Z.

Начало координат – центр эллипсоида О.

Ось ОZ располагается по полярной оси эллипсоида ОР;

Ось ОХ – в плоскости экватора в меридиане РЕР_I, который принимают за начальный;

Ось ОY – в плоскости экватора, но в меридиане РКР_I, плоскость которого составляет с плоскостью начального меридиана угол в 90^о. Положение точки М поверхности эллипсоида определяется координатами :

X = М_ІМ_ІІ, Y = ОМ_ІІ, Z = ММ_І

Система прямоугольных прямолинейных координат х, у, отнесённых к плоскости меридиана данной точки.

В этой системе первоначально определяется меридиан, на котором находится точка. PR_ІP_ІR – меридианный эллипс, проходящий через точку М.

Начало координат – центр эллипса О. Ось Ох направлена по большей полуоси, ось Оу – по малой полуоси. Положение точки М определяется координатами :

x = ОМ_І, y = ММ_І .

С истема геодезических координат В, L.

Геодезическая широта (В) определяется острым углом между нормалью (Mn) к поверхности эллипсоида и плоскостью экватора. Широта изменяется от 0⁰ до 90⁰ (0⁰ В 90⁰). Различают северную широту и южную широту.

Геодезическая долгота (L) равна двугранному углу между плоскостями начального меридиана (PЕP_І) и меридиана данной точки (PRP_І). Долгота изменяется от 0⁰ до 180⁰ (0⁰ L 180⁰). Различают восточную долготу и западную долготу.

Система геоцентрических координат Ф, L.

Одной из координат в этой системе является геодезическая долгота L.

Геоцентрическая широта Ф определяется углом между радиус-вектором r точки М и плоскостью экватора.

Система координат с приведенной широтой и геодезической долготой u, l.

Одной из координат в этой системе является геодезическая долгота L.

P Е_ІP_ІЕ – меридианный эллипс, проходящий через точку М;

уЕ_Іу_ІЕ – окружность радиус которой равен большей полуоси меридианного эллипса;

х, у – прямоугольные прямолинейные координаты отнесённые к плоскости меридианного эллипса, проходящего через точку М;

угол mОЕ_І – приведенная широта u точки М

Система прямоугольных сфероидических координат p и q.

Оси сфероидической системы координат располагаются на поверхности эллипсоида. Начало координат – точка А координаты которой известны. Меридиан точки А принимают за ось абсцисс с положительным направлением на север. Через точку М проводят нормальное сечение перпендикулярно меридиану точки А. Положение точки М определяется координатами : АМ_І = p и М_ІМ = q.

Плоские прямоугольные координаты. В настоящее время в нашей стране принята проекция Гаусса-Крюгера или система прямоугольных плоских координат в конформной проекции Гаусса, в которой производят вычисления всех пунктов опорной геодезической сети.

Связь между некоторыми системами координат.

Связь между геодезической широтой В и координатами х и у, отнесёнными к плоскости меридиана определяемой точки.

(2.1)

(2.2)

(2.3)

r – радиус параллели, проходящей через точку с широтой В.

Задание 2.1. Для эллипсоида Красовского вычислить прямоугольные прямолинейные координаты отнесённые к плоскости меридиана данной точки (х,у,L) по её геодезическим координатам: В = 31° 00' , L = 66° 00'. Для контроля вычислений осуществить обратный переход от координат х и у к геодезической широте В.

Решение.

Контроль.

arctgB =31° 00'.

Связь между геодезическими и геоцентрическими координатами.

(2.4)

(2.5)

(2.6)

где ρ – количество градусов, минут или секунд в одном радиане:

(2.7)

(2.8)

Задание 2.2. Для эллипсоида Красовского у точки с геодезическими координатам: В = 31° 00', L = 66° 00' определить геоцентрическую широту Ф.

Решение.

Связь между геоцентрической широтой Ф и координатами х и у, отнесёнными к центру и осям эллипсоида.

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Задание 2.3. Для точки с геоцентрической широтой Ф = 30º 49′ 49,4113″ определить координаты х и у, отнесённые к плоскости меридиана определяемой точки.

Решение.

Контроль.

arctgФ = 30^о49′49,4113″

Связь между приведенной широтой u и геодезической широтой В.

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

где: (2.20)

Задание 2.4. Для точки с геодезической широтой В = 31º 00′ определить приведенную широту u, а также разницу между геодезической и приведенной широтами. Осуществить контроль.

Решение.

arctg u = 30^о54′54,4637″

Контроль.

u ≈ В - (В- u) ≈ 31°-0°05′05″ ≈ 30°54′55″

Связь между системой прямоугольных пространственных координат X, Y, Z и другими системами координат.

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Задание 2.5. Для точки с координатами х = 5 472 083,119, у = 3 265 951,553, отнесёнными к плоскости меридиана с долготой L =66º 00′ определить пространственные прямоугольные координаты X,Y,Z. Произвести контроль.

Решение.

Контроль.

Задание 2.6. Для точки с приведенной широтой u = 30^о54′54,4637″ и долготой L =66º 00′ определить пространственные прямоугольные координаты X,Y,Z.

Решение.

Задание 2.7. Для точки с геодезической широтой В= 31º 00′ и долготой L =66º 00′ определить пространственные прямоугольные координаты X,Y,Z.

Решение.