Коэффициенты контингенции.

Корреляционное поле очень похоже на таблицу сопряженности категорий двух качественных показателей (назовем их А и В, чтобы не было ассоциаций с количественными переменными Х и У).

	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	l
В1	1	0	0	0	0	0	0	0	1
В3	1	1	0	0	0	0	0	0	2
В5	0	3	4	0	0	0	0	0	7
В6	0	1	1	0	0	0	0	0	2
В7	0	0	2	5	0	0	0	0	7
В8	0	0	0	1	3	8	7	0	19
В9	0	0	0	0	0	2	1	2	5
k	2	5	7	6	3	10	8	2	43
В1	0,500	0	0	0	0	0	0	0
В3	0,250	0,100	0	0	0	0	0	0
В5	0	0,257	0,327	0	0	0	0	0
В6	0	0,100	0,071	0	0	0	0	0
В7	0	0	0,082	0,595	0	0	0	0
В8	0	0	0	0,009	0,158	0,337	0,322	0
В9	0	0	0	0	0	0,080	0,025	0,400

Мы уже один раз понизили шкалу измерения переменных до дискретной и получили таблицу частот m_ij совместного появления разных комбинаций дискретных значений (Х_i , Y_j). Далее мы вообще абстрагировались от числовых значений переменной Х (т.е. понизили шкалу этой пере­менной до шкалы имен) и получили более объективную меру тесноты связи – корреляци­онное отношение вместо коэффициента корреляции (r_xy = –0,868; ). Сделаем еще один шаг – абстрагируемся от числовых значений переменной У и будем считать, что задано 7 категорий качественного показателя В (q = 7, т.к. категории В₂ и В₄ ни разу не появились и поэтому их сократили).

Нуль-гипотеза заключается в утверждении независимости показателей А и В. Но тогда, согласно теореме умножения вероятностей, ожидаемые частоты совместного появления категорий (A_i , B_j) должны быть равны . Сравниваем по критерию Пирсона два ряда частот – наблюдаемых и ожидаемых при справедливости 0-гипотезы:

.

Эту статистику надо сравнивать с табличными значениями критерия Пирсона при ЧСС = (р – 1)(q – 1). Для нашего примера ЧСС = (8 – 1)(7 – 1) = 42. Функцией ХИ2ОБР находим Сразу под таблицей сопряженности вычислены отношения , их сумма равна 3,613, откуда получаем ² = 43(3,613 – 1) = 112,36.

Т.к. вычисленное значение ² больше табличного  , нуль-гипотеза отвергается и делаем заключение о существовании значимой связи между показателями А, В. Теснота этой связи оценивается коэффициентами контингенции Крамера (С) и Кендала (К, КК):

, где d = min{p, q} = 7;

; .

Заметим, что коэффициент контингенции Кедала КК = 0,919, не использующий никаких сведений о числовой природе переменных, оказался очень близким к наиболее объективной мере тесноты связи – корреляционному отношению .