Выбор нелинейной формы связи

Обычно принимают двухпараметрическую форму связи F(x, y) = a + bФ(х, у), которая является линейной после функционального преобразования переменных. Чаще всено проверяют или обратные преобразования переменных, или же их логарифмирова­ние. Таким образом, предлагается рассмотреть шесть двухпараметрических моделей:

у = а + b / х – с обратным преобразованием переменной х;             

1 / у = а + bх – с обратным преобразованием переменной у;          

1 / у = а + b / х – с обратным преобразованием обеих переменных;

у = а + blnх – с логарифмированием переменной х;                         

lnу = а + bх – с логарифмированием переменной y;                         

lnу = а + blnх – с логарифмированием обеих переменных.              

Наилучшей среди двухпараметрических моделей будет та, для которой получится наибольший коэффициент корреляции. Графиком линейной зависимости является прямая линия; отсюда следует такой визуальный критерий выбора наилучшей нелинейной формы связи – в функциональных масштабах эмпирические точки должны группироваться вокруг некоторой прямой.

Работа эта не такая тяжелая, как может показаться с первого взгляда. Рабочий лист Excel с уже набранными формулами и построенными графиками представляет собой работающую программу обработки данных. Сделаем работающую копию этого листа Excel и в копии заменим одну из переменных на функционально преобразованную. Практически все автоматически пересчитывается и потребуется, в основном, только заменить разметку осей на графиках.

Zcp =	1,193
Ycp =	75,233
Sz =	0,294
Sy =	17,848
Rzy =	0,901
b =	54,767
a =	9,895

Ниже приведены результаты перерасчета после обратного преобразования переменной z = 1 / x. Получено следующее уравнение регрессии: у_р = 9,895 + 54,767 / х с коэффициентом корреляции Rzy = 0,901 (для линейной модели было Rхy = –0,868). На графиках в функциональных масштабах (1 / х, у) видно, что эмпирические точки тесно группируются вокруг прямой (линии регресии), теоретическая линия регрессии пересекает доверительные интервалы для всех узлов эмпирической линии регрессии.

Удалась первая же попытка найти подходящую нелинейную форму связи.

Доверительные интервалы на расчетные значения.

Ширина 95%-ного доверительного интервала на расчетное значение y_p = a + bx для линейной модели равна у_р(х), где .

n =	43
Zcp =	1,193
Dz =	0,0862
Sy =	17,848
Rzy =	0,901
t0,05 =	2,020
min =	2,441
b =	54,767
a =	9,895

У нас линейной оказалась модель Уp = a + bZ, после функциональ­ного преобразования Z = 1 / x. Выписываем все необходимые сведения. Для х = 0,4 – 1,3 с шагом 0,1 вычисляем Z = 1 / x, Уp = a + b*z, min = У_р(Zcp), , Уp(Z) – У_р(Z), Уp(Z) + У_р(Z).

Границы доверительной полосы наносим на графики пунктиром. Наличие на графике ренресии 95%-ной доверительной полосы определяет пределы применимости модели.