§ 3. Положительные ряды.

Остановимся на случае положительного ряда (2), т.е. ряда, все члены которого неотрицательны: .

Теорема 4. Для сходимости положительного ряда (2) необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограниченны в совокупности.

Доказательство. 1) Необходимость этого утверждения почти очевидна: если ряд (2) сходится, то для любого найдётся натуральный номер такой, что

,

так что для

.

Для конечного числа пар , у которых и частные суммы ограниченны некоторым числом : .

Наконец, если , а или , а , то или . В итоге, полагая , будем иметь для всех

.

2) Достаточность. Пусть . Рассмотрим и покажем, что будет суммой нашего ряда. Зададим любое . По определению точной верхней грани, можно найти частную сумму такую, что

.

Если взять , то и подавно , т.к. возрастает по каждой переменной и . Поскольку частная сумма не превосходит , то для и, следовательно,

.

А это и означает, что

,

т.е. ряд (2) сходится и его сумма равна .

На основе теоремы 4 можно доказать теорему сравнения, аналогичную теореме сравнения для обычных положительных рядов.

Теорема 5. Пусть даны два положительных ряда

(А)

(В)

Если для всех пар , у которых либо , либо ( - некоторое натуральное число) выполняется неравенство , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. Поскольку отбрасывание конечного числа начальных членов ряда с номерами и не отражается на его поведении, мы можем считать, не нарушая общности, что . Обозначая частные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через и , будем иметь

.

Пусть ряд (В) сходится. Тогда, по теореме 4,

.

Тогда и подавно и, по той же теореме 4, ряд (А) сходится.

Обратно: если ряд (А) расходится, то расходится и ряд (В), т.к. в противном случае сходился бы ряд (А), что противоречит условию.

Теорема 6. Если из трёх рядов

, ,

один сходится, то сходятся остальные и имеют ту же сумму.

Теорема 6 усиливает теорему 1.

Доказательство. Пусть сходится двойной ряд

.

Тогда, очевидно, для его частных сумм будет справедливо неравенство:

. (6)

Далее, для любого

. (6')

Это показывает, что ряд сходится при любом . Если - его сумма, то .

Переходя в неравенстве (6) к пределу при , получим

.

Видим, что эти суммы ограничены. Следовательно, ряд, составленный из сходится и .

Мы доказали, что если сходится двойной ряд, то сходится и повторный, причём его сумма .

Теперь предположим, что сходится ряд . Докажем, что тогда сходится и двойной ряд. Очевидно,

,

так что частные суммы ограничены. Поэтому на основании теоремы 4 утверждаем, что двойной ряд сходится и имеет сумму . Таким образом, сходимость одного из рядов влечёт сходимость другого и равенство их сумм: .

Теорема 7 (о связи двойного ряда и простого ряда, составленного из тех же членов).

Пусть двойной ряд с положительными членами

и простой ряд

(7)

состоят из одних и тех же членов. Тогда из сходимости одного ряда вытекает сходимость другого и равенство их сумм.

Доказательство. Предположим сначала, что двойной ряд сходится и имеет конечную сумму :

.

Возьмём произвольное натуральное число и составим частную сумму ряда (7):

.

Выберем теперь и так, чтобы сумма уже содержала в себе все элементы .

Тогда

.

Значит, все частные суммы ограничены. Поэтому ряд (7) сходится и имеет сумму

(8)

Предположим теперь, что сходится ряд (7). Возьмём произвольную частную сумму двойного ряда и найдём такое натуральное , чтобы все элементы частной суммы содержались среди первых элементов ряда (7). Тогда справедливо неравенство

.

Отсюда следует, что двойной ряд сходится и имеет сумму

(9)

Сопоставляя (8) и (9), имеем .