Задание 5

1. Можно ли в определить норму формулой , где ?

2. Можно ли в пространстве непрерывных на функций определить норму следующим образом , ?

3. Можно ли в пространстве непрерывно дифференцируемых на функций определить норму следующим образом: ?

4. Убедитесь, что для пространства выполняются аксиомы нормы, если .

5. Убедитесь, что для пространства выполняются аксиомы нормы, если .

6. Убедитесь, что для пространства выполняются аксиомы нормы, если .

7. Убедитесь, что в пространстве последовательностей , где , удовлетворяющих условию с нормой выполняются аксиомы нормы.

8. Убедитесь, что в пространстве последовательностей , где , удовлетворяющих условию с нормой выполняются аксиомы нормы.

9. Убедитесь, что в пространстве ограниченных последовательностей ( ) с нормой выполняются аксиомы нормы.

10. Убедитесь, что в пространстве сходящихся к нулю последовательностей ( ) с нормой выполняются аксиомы нормы.

11. Убедитесь, что в пространстве сходящихся последовательностей ( ) с нормой выполняются аксиомы нормы.

12. Убедитесь, что в пространстве непрерывных на функций с нормой выполняются аксиомы нормы.

13. Убедитесь, что в пространстве раз непрерывно дифференцируемых на функций с нормой выполняются аксиомы нормы.

14. Убедитесь, что в пространстве всех ограниченных на функций с нормой выполняются аксиомы нормы.

15. Пусть . Доказать, что в пространстве можно ввести норму следующим образом .

16. Пусть . Доказать, что в пространстве можно ввести норму следующим образом .

17. Убедитесь, что в пространстве последовательностей ( ), удовлетворяющих условию с нормой выполняются аксиомы нормы.

18. Убедитесь, что в пространстве непрерывно дифференцируемых на функций с нормой выполняются аксиомы нормы.

19. Убедитесь, что в пространстве дважды непрерывно дифференцируемых на функций с нормой выполняются аксиомы нормы.

20. Можно ли в пространстве раз непрерывно дифференцируемых на функций задать норму следующим образом .

Задание 6

Пусть – гильбертово пространство функций суммируемых с квадратом на , скалярное произведение в котором имеет вид . Для заданной функции найти элемент наилучшего приближения элементом подпространства многочленов степени . Построить графики функций и .

6.1.	6.11.
6.2.	6.12.
6.3.	6.13.
6.4.	6.14.
6.5.	6.15.
6.6.	6.16.
6.7.	6.17.
6.8.	6.18.
6.9.	6.19.
6.10.	6.20.

ЗАДАНИЕ 7

Доказать, что оператор является линейным ограниченным и найдите его норму, если:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. , , где .

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

ЗАДАНИЕ 8

Определить общий вид решения интегрального уравнения и методом неопределенных коэффициентов найти его:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

ЗАДАНИЕ 9

Решить интегральное уравнение с вырожденным ядром:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

ЗАДАНИЕ 10

Найти резольвенту интегрального уравнения и с ее помощью решить его:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. 

ЗАДАНИЕ 11

Исследовать на экстремум функционал:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

ЗАДАНИЕ 12

Интегрируема ли по Риману функция на отрезке ? Интегрируема ли она по Лебегу относительно меры Лебега на ? Если функция интегрируема по Лебегу, то найти .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1

Доказать, что пространство непрерывных на функций с расстоянием является метрическим.

РЕШЕНИЕ

Для того чтобы доказать, что пространство является метрическим, покажем, что выполняются все аксиомы метрики:

1. , причем ;

2. ;

3. ;

Итак, так как , то . Следовательно, .

Причем, если , то , и . Обратно, если , то . Следовательно, , т.е. .

Таким образом, 1-ая аксиома выполняется. Теперь вторая:

.

Для доказательства выполнимости третьей аксиомы, рассмотрим следующее неравенство:

; следовательно,

Так как производная функции положительна , следовательно сама монотонно возрастает. Поэтому, в силу неравенства (2.1.1):

Таким образом, и третья аксиома выполняется, следовательно данное пространство является метрическим.