Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего и профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет»

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПО

ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Ижевск 2003

УДК 517.98(075)

К 89

Составители: М.С. Кузьмин, ст. преподаватель

М.М. Горохов, канд. физ.-мат. наук, доц.

Рецензент Л.А. Мухаметшина, ст. преподаватель

Сборник индивидуальных заданий по функциональному анализу. –

Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. – 44с.

Сборник индивидуальных заданий подготовлен для использования его в качестве типового расчета по курсу «Функциональный анализ», читаемого по специальности «Прикладная математика» факультета «Прикладная математика» ИжГТУ. Предназначен для студентов вузов, слушающих аналогичные курсы.

© Кузьмин М.С., Горохов М.М., составление, 2003

© Издательство ИжГТУ, 2003

Задание 1

1. Доказать что в произвольном метрическом пространстве (второе равенство треугольника).

2. Доказать, что в произвольном метрическом пространстве (неравенство четырехугольника).

3. Пусть на прямой расстояние определяется формулой Проверить, что действительно является метрикой.

4. Является ли метрическим пространством множество двумерных векторов, если положить ?

5. Показать, что на множестве натуральных чисел функция определяет метрику.

6. Проверить, является ли на множестве натуральных чисел функция метрикой?

7. Пусть - множество всех точек окружности радиуса с центром в начале координат. Примем за расстояние между двумя его точками длину кратчайшей дуги окружности, их соединяющей. Является ли метрическим пространством.

8. Является ли метрическим пространством множество всех прямых на плоскости, если расстояние между прямыми и определяется формулой ?

9. Является ли метрическим пространством множество всех прямых на плоскости, если расстояние между прямыми , для которых , определяется формулой ?

10. Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая на функция, удовлетворяющая условиям:

1. и при ;

2. не убывает:

3. при .

Доказать, что формулой определяется метрика в .

11. Доказать, что формулой определяется метрика в .

12. Пусть метрика на множестве . Доказать, что функция также является метрикой.

13. Пусть на прямой расстояние определяется формулой . Проверить, является ли метрикой.

14. В множестве всевозможных последовательностей положим . Проверить, является ли метрикой.

15. Доказать, что формулой определяется метрика в .

16. Доказать, что формулой определяется метрика в .

17. Доказать, что формулой (где ) определяется метрика в .

18. Пусть - пространство всех функций, определенных на отрезке и имеющих непрерывную -ую производную . Доказать, что формулой определяется метрика.

19. Пусть - пространство всех функций, определенных на отрезке и имеющих непрерывную -ую производную . Доказать, что формулой определяется метрика.

20. Пусть - пространство всех функций, определенных на отрезке и имеющих непрерывную -ую производную . Доказать, что формулой определяется метрика.

Задание 2

1. Доказать, что подпространство полного метрического пространства полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в .

2. Доказать полноту пространства , элементами которого являются все те последовательности , для которых существует конечный предел (где - фиксированная последовательность положительных чисел), с метрикой .

3. Доказать, что последовательность функций не является сходящейся в пространстве всех непрерывных на функций с метрикой .

4. Проверить, что пространство всех непрерывных на функций с метрикой не является полным.

Указание. В случае рассмотреть последовательность

5. Доказать, что пространство определённых и непрерывных на функций, для которых , с метрикой , является полным метрическим пространством.

6. Введем на прямой метрику по формуле . Является ли это пространство полным?

7. Пусть на задана метрика . Доказать, что полученное метрическое пространство не является полным, и найдите его пополнение.

8. Доказать, что пространство всех многочленов, определенных на , с чебышевской метрикой не полно, и найдите его пополнение.

9. Пусть - изометрическое отображение метрического пространства в полное метрическое пространство . Показать, что множество с метрикой является пополнением пространства .

10. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой ? Если нет, то найти его пополнение.

11. Показать полноту пространства , элементами которого являются всевозможные последовательности , для которых (где - фиксированная последовательность положительных чисел) с метрикой .

12. Доказать, что множество , где пространство числовых последовательностей, удовлетворяющих условию , состоящее из тех элементов , для которых , замкнуто.

13. Найти замыкание множества всех многочленов в пространстве непрерывных на функций.

14. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой ? Если нет, найти его пополнение.

15. В множестве всевозможных последовательностей положим . Доказать, что - полное метрическое пространство.

16. Будет ли полным метрическим пространством с метрикой ? Если нет, то найти его пополнение.

17. Будет ли полным метрическим пространством с метрикой ? Если нет, то найти его пополнение.

18. Будет ли полным метрическим пространством с метрикой ? Если нет, то найти его пополнение.

19. Будет ли полным метрическим пространством с метрикой ? Если нет, то найти его пополнение.

20. Будет ли полным метрическим пространством с метрикой ? Если нет, то найти его пополнение.