Задание 3

1. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве непрерывных на функций решение интегрального уравнения .

2. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве непрерывных на функций решение интегрального уравнения .

3. Рассмотрим систему уравнений , если , где - пространство ограниченных числовых последовательностей. Если , то при система имеет единственное решение в пространстве . Доказать это утверждение.

4. Рассмотрим систему уравнений , если , где . Если , то при указанная система имеет единственное решение в пространстве . Доказать это утверждение.

5. Начиная с какого приближения точность приближения решения уравнения не превосходит ?

6. Пусть непрерывных на функций. Показать, что уравнение имеет в пространстве единственное решение .

7. Пусть – функция, непрерывная вместе со своими частными производными первого порядка в окрестности точки и такая, что , . С помощью принципа неподвижной точки доказать, что при всех достаточно малых уравнение имеет единственное решение , тождественно удовлетворяющее этому уравнению и обращающееся в нуль при .

8. Доказать, что если непрерывно дифференцируемая функция и , то уравнение имеет единственное решение.

Указание. Рассмотреть отображение .

9. Проверить, что отображение является сжимающим на .

10. Отображение переводит каждую точку полупрямой в . Является ли оно сжимающим? Имеет ли оно неподвижную точку?

11. Пусть - дифференцируемая на отрезке функция, причем . Будет ли уравнение иметь решение?

12. Показать, что непрерывно дифференцируемая функция , определенная на отрезке и удовлетворяющая неравенствам , имеет единственную неподвижную точку.

13. Проверить, что отображение является сжимающим на отрезке .

14. Показать, что в принципе сжимающих отображений условие нельзя заменить более слабым условием .

15. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве непрерывных на функций решение интегрального уравнения .

16. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве непрерывных на функций решение интегрального уравнения .

17. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве непрерывных на функций решение интегрального уравнения .

18. Отображение задано на . Является ли оно сжимающим? Имеет ли оно неподвижную точку?

19. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве непрерывных на функций третье приближение решения интегрального уравнения . Доказать предварительно, что отображение является сжимающим.

20. Используя принцип сжимающих отображений, найти в пространстве непрерывных на функций третье приближение решения интегрального уравнения . Доказать предварительно, что отображение является сжимающим.