Задание 4

1. Пусть и – некоторые подмножества топологического пространства , причем замыкание множества содержится в замыкании множества . Можно ли утверждать, что всегда является подмножеством ?

2. Пусть , а открытыми в нем являются те его подмножества (наряду с и ), которые получаются выбрасыванием из него любого конечного или счетного числа точек. Доказать, что:

   1. – топологическое пространство;

   2. сходящимися в являются только те последовательности, элементы которых начиная с некоторого номера, совпадают.

3. Пусть , а открытыми в нем являются те его подмножества (наряду с и ), которые получаются выбрасыванием из него любого конечного или счетного числа точек. Доказать, что точка 0 является точкой прикосновения для множества , но никакая последовательность из не сходится к 0 в .

4. Доказать, что в топологическом пространстве с тривиальной топологией каждая последовательность сходится к любой точке этого пространства.

5. Пусть , а топология определяется множествами , , интервалами , где и множествами вида . Доказать, что в пространстве последовательность не имеет предела.

6. Пусть , а , где .

1) Будет ли компактным пространством?

2) Найдите предел последовательности .

7. Что можно сказать о сходимости последовательности в топологическом пространстве , если , , где ? Будет ли компактным пространством?

8. Пусть открыто, , где топологическое пространство. Доказать, что пересекается с тогда и только тогда, когда пересекается с замыканием .

9. Пусть открыто, , где топологическое пространство. Доказать, что не пересекается с тогда и только тогда, когда не пересекается с замыканием .

10. Доказать, что в топологическом пространстве, если – открыто, – замкнуто, то – открыто, а – замкнуто.

11. Доказать, что если и – открытые непересекающиеся множества топологического пространства, то их внутренности замыканий не пересекаются .

12. Доказать, что если открыто в топологическом пространстве , , то внутренность замыкания пересечения множеств и равна пересечению внутренностей их замыкания .

13. Верно ли, что если – открыто в топологическом пространстве , то внутренность замыкания множества есть само ?

14. Верно ли, что если – замкнуто в топологическом пространстве , то замыкание внутренности множества есть само ?

15. Верно ли, что в топологическом пространстве пересечение замыканий любых двух множеств равно замыканию их пересечения ?

16. Верно ли, что в топологическом пространстве объединение внутренностей любых двух множеств равно внутренности их объединения ?

17. Пусть – топологическое пространство. Доказать, что:

    1. если , то замыкание содержится в замыкании ;

    2. замыкание объединения любых двух множеств равно объединению их замыканий .

18. Пусть – топологическое пространство. Доказать, что:

    1. если , то внутренность содержится во внутренности ;

    2. пересечение внутренностей любых двух множеств равно внутренности их пересечения .

19. Доказать, что является – пространством тогда и только тогда, когда всякое его одноточечное подмножество замкнуто.

20. Доказать, что для любых двух непересекающихся открытых множеств топологического пространства, замыкание любого из них не пересекается с другим.