6.8. Нормальное распределение нсв
Случайная величина Х, принимающая
любые значения от
до
,
имеет нормальное распределение с
параметрами
и
,
если ее плотность распределения
имеет вид:
.
Нормальный закон распределения (также
часто называемый законом Гаусса) имеет
исключительное значение в теории
вероятностей, т. к. это – наиболее часто
встречающийся на практике закон
распределения. Нормальное или близкое
к нему распределение имеет огромное
число случайных величин, встречающихся
нам в жизни. Общим для их поведения
является следующее: наиболее часто
встречаются (наиболее вероятны) значения
случайной величины, близкие к ее среднему
арифметическому значению
.
Чем сильнее отличаются значения
от
(неважно, в большую или меньшую сторону),
тем реже они встречаются (тем менее
вероятны).
На рисунке слева приведен вид графиков при различных значениях :
Характерная колоколообразная кривая, изображенная на рисунках, имеет специальное название — гауссиан (гауссова кривая).
Параметр представляет собой математическое ожидание (а также моду и медиану) величины, распределенной по нормальному закону, а параметр – среднеквадратическое отклонение этой величины. Функция распределения в нормальном законе
не имеет аналитического выражения и вычисляется с помощью таблиц вспомогательной функции Ф( ). (Вид графика этой функции приведен выше на рисунке справа). Эта функция имеет различные названия: интеграл (функция) Лапласа, интеграл вероятностей, функция ошибок, функция распределения (нормированного) нормального распределения. Эта функция может не только по-разному называться, но и приводиться в несколько различном виде, что следует учитывать, пользуясь ею.
Рассмотрим наиболее часто встречающуюся
задачу: расчет вероятности попадания
значений Х в заданный интервал
:
.
1) Если
,
то
.
2) Если
,
то
.
3) Если
,
то
.
4) Если
,
то
.
5) Если
,
то
.
6) Если
,
то
.
Пользуясь любым видом функции Ф( ) можно подсчитать, что
.
Таким образом, практически достоверным
событием (вероятность которого близка
к 1) является попадание значений нормально
распределенной величины на конечный
промежуток от
до
.
Это обстоятельство позволяет успешно
применять нормальный закон для описания
поведения многих случайных величин,
встречающихся в опыте, значения которых,
конечно, меняются не от –
до +
,
а на каком-либо конечном промежутке.
Кроме задачи вычисления вероятности
попадания значений функции на интервал,
встречается и обратная задача: по
заданной вероятности установить
интервал, симметричный относительно
М(Х), на котором могут находиться
значения случайной величины. Обычно
задаваемую вероятность называют
доверительной, обозначают
,
а интервал, в котором с вероятностью
находятся значения случайной величины
– доверительным.
Пусть
.
Используя
,
получим
,
откуда найдем, что
.
В таблице приведены значения
при различных
.
|
0,99 |
0,95 |
0,9 |
0,8 |
0,7 |
0,6 |
0,5 |
|
2,58 |
1,96 |
1,64 |
1,28 |
1,04 |
0,84 |
0,67 |
