§ 6. Понятие о логике высказываний

Современная символическая логика для анализа дедуктивных рассуждений стро ит особые логические системы; одна из них называется логикой высказываний или пропозициональной логикой, другая — логикой предикатов. Рассмотрим кратко принципы построения логики высказываний.

Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процес­сы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстро­енных выражении, интерпретацию.

Алфавит idi ики Bbn-k.i зываний состоит из следующих символов.

1) Символы ,пя |!ыск<1)|,|»аний. р, q, r ... (пропозициональные переменные).

2) СИМВОЛЫ ДЛЯ .101 ИЧССМ1Х СВЯЗОК:

л — конъюнкция (союз ««»);

v — дизъюнкция (союз «или»);

—> — импликация (союз «если—, то...»);

= — эквивалентность (союз «если и только если..., то...»);

1 — отрицание («неверно, что...»). 3) Технические знаки (,) — скобки.

Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно пс енными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:

1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, г ... — является ППФ.

2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то" выражения — А л В, А v В, А —> В, А = В, 1А— также являются ППФ.

3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать по правилам вывода из одних формул другие.

Табличное построение предполагает семантические определения пропозицио­нальных связок в виде матриц, показывающих зависимость истинного значения слож­ных формул от значений их составляющих простых формул. Если А и В простые

157

формулы, то истинное значение построенных с помощью логических связок формул может быть представлено матричным способом — в виде таблицы (см. рис. 36).

Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного значе­ния различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фор­мулы.

Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых— истинных или ложных—значениях составляющих их пропозициональ­ных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики.

Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональный переменных.

Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истин­ности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозици­ональных переменных.

Табличное построение предполагает определение логических отношений между формулами. Существенное значение для анализа рассуждений имеет отношение логического следования (символ |—). которое определяется следующим образом. Из Ai,..., An как посылок логически следует В как заключение, если при истинности каждого Ai, ..., An истинным является и В. В языке-объекте отношение следования адекватно выражается импликацией. Значит, если Ai,..., Ап г-В> то формула, пред­ставляющая собой импликацию вида (Ai л ai л ... л An) —> В, должна быть тождест­венной истинной.

Табличное носгроение логики высказываний позволяет определять логические отношения между высказываниями (см. гл. V § 4) и проверять правильность умозак­лючений, используя приведенный выше критерий. В качестве примера предлагаем провести табличным способом проверку правильности рассуждения формулы (р —> q) )- (1q —> 1p). Заменив знак логическою следования между посылкой и заклю­чением па импликацию и построив таблицу для полученной формулы, видим, что она является тождественно истинной. Значит, рассуждение является правильным.

Если в рассуждении содержится более трех переменных, то строить полную таблицу для проверки его правильности затруднительно и тогда используют сокра­щенный метод проверки, рассуждая от противного. Поскольку при правильном рас­суждении формула вида (Ai л ... л An) —> В должна быть тождественно истинной, посмотрим, не может ли она при каком-то наборе значений неременных оказаться ложной. Допустим, что может. Если из этого допущения получим какое-нибудь про­тиворечие, то такое допущение будет неверным, а проверяемое рассуждение — пра­вильным. Если же из допущения не получаем противоречия, то обнаружим набор значений переменных, при котором формула ложна, т.е. тот набор, который опровер­гает проверяемое рассуждение.

Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая систе­ма натурального вывода (СНВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения. Вывод из посылок осуществлен, если удалось элиминировать все сделанные допущения. Таким образом, поавыводом формулы В (заключения) из формул Ai,..., А„ (посылок) имеется в виду последовательность формул, каждая из которых является либо посылкой, либо допущением, либо получается по правилам вывода из предыдущих, и последняя формула этой последовательности есть форму­ла В, а все допущения при этом элиминированы.

Правила СНВ позволяют оперировагь со всеми связками, имеющимися в алфа­вите языка. Они делятся на правила введения (в) и правила исключения (и) связок.

158

Конъюнкция:

Дизъюнкция:

А,В

'АлВ

А

AvB

Импликация:

Отрицание:

Эквиваленция:

AvB

А

В-»А

НА ' А •

А=В

(А->В)л(В-»А) '

Кроме этих прямых правил получения новых строк вывода, в СНВ приняты непрямые правила, определяющие стратегию построения вывода. Например, если нужно вывести из посылок формулу вида импликации (xi —> (xz —> ...(xn-i -> Хп))), то после выписывания посылок выписываются в качестве допущений все антецеденты заключения, начиная с антецедента главного знака импликации, т.е. xi, •m, хз,..., Xn-i. Г,А->В

Если при этом удастся вывести Хп, то по непрямому правилу -> в ,

^собираем

Г-»А->В

последовательно формулы: (xn-i-^Xn) (при этом исключается допущение Xn-i), (хп-2 —> (Xn-i —> Xn)(xn-r исключается из числа допущений) и т.д., пока не получим требуемое заключение xi -»(хп-2 —>... (Xn-i —> Хп). Это правило построения прямого вы­вода.

Приведем пример вывода с применением этого правила:

((pAq)->r) |_ (p-> (q ->r)

1. (р л q) —> г — посылка

2. р — допущение

3. q — допущение

4. р л q (2, 3. л в)

5.г(1,4,^„)

6. q -> г(3,5, ^в)(-3)

7.p^(q^r)(2,6, -^.)(-2)

Другое непрямое правило используется для построения косвенного вывода, при котором допущением является отрицание В или отрицание последнего консеквен-

_ Г,А->(Вл1В)

та Хп. Это правило имеет вид —————-———— и говорит о том, что если из каких-то Г—> |А

формул (Г) и допущения (А) получено противоречие (В л ТВ), то из этих формул следует ча. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида (xi —> (х2 —> ...(xn-i —> Хп)...), то после посылок выписываются формулы:

X] 1

допущения

Х2

Xn-i

^п

допущение косвенного доказательства [ДКД]

159

Затем по правилам вывода получаем следствия из всех имеющихся посылок и допущений до тех пор, пока не получим две противоречащие друг другу формулы'('В и 1В), что свидетельствуе! о несовместимости допущения косвенного доказательства с другими допущениями и посылками. Отсюда делается вывод о его ложности. Тогда в вывод вписывается строка 11 Хп, и тем самым допущение косвенного доказательства исключается. Например, осуществим косвенный вывод: (р —> q) ("-(1q —> 1p) (

l.p—>q—посылка

2.1q — допущение

з. Ирдкд

4/Р(3,1и)

5.q(l,4,->„)

6. а л 1я(5,2,лв)

7. 1 Up (6,3, 1в)(-3)

8. 1p (7, 1и)

9. 1q -> 1p (2,8, ->и)(-2)

Косвенный вывод считается законченным, если в ходе вывода получена какая-то формула и ее отрицание, т е. противоречие. Таким образом, если строится косвенный вывод формулы вида xi —> (x-i —>..—> Хп), то построчно выписывают все антецеденты от xi до Xn-i в качестве допущений; в последней строчке выписывают отрицание последнего консеквента — 1хп как допущение косвенного вывода По правилам вывода получаем различные следствия из всех имеющихся посылок и допущений. Получение двух противоречащих следствий говорит о ложности допущения косвен­ного вывода. Па этом основании ДКД отрицается, т.е. получаем двойное отрицание. Снятие двойного отрицания дает формулу Хп.

Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются ее непротиворечивость и полнота.

Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться толь­ко истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок, то она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множест­ва посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание (1А).

Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы вы­вести ,из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.

Логика предикатов является более общей логической системой и включает логику высказываний как свою часть. Она располагает более эффективными логическими средствами для анализа рассуждений в естественном языке.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. На какие виды делятся выводы из сложных суждений?

2. Как строятся чисто условные умозаключения?

3. Что такое условно-категорическое умозаключение? Назовите его правильные модусы, выразите их в символической записи.

4. Какое умозаключение называется разделительно-категорическим? Назовите его модусы, выразите их в символической записи.

5. Укажите условия правильности выводов по утверждающе-отрицающему и от-рицающе-утверждающему модусам разделительно-категорического умозаключения.

6. Какое умозаключение называется условно-разделительным (леммантичес-ким)? Какие модусы имеет дилемма?

7. Что такое энтимема?

8. Каковы принципы построения логики высказываний?

9. Покажите значение различных видов условных и разделительных умозаключе­ний в работе юриста.

160