32)Дать определение графа и основных его видов:ориентированный и неориентированный,мультиграф,взвешенный граф,граф с петлями,планарный граф
Граф-совокупность двух множеств V(точек) и Е(линий),между элементами которых определено отношение инцидентности,причем каждый элемент е принадлежащий Е инцидентен ровно двум элементам v’,v’’ принадлежащий V,e принадлежащее Е пишут соответственно V принадлежит G и е принадлежит G.
Граф называется неориентированным, если для любого u = (x,y) принадлежащего U выполняется u’=(y,x) принадлежащее U.
Если это условие не выполняется хотя бы для одного ребра, то граф называется ориентированным.
Ребро вида u = (x,x) называется петлей.
Если
U = Х2,то граф называется
полным.
Если некоторая пара вершин соединена более чем одним ребром,то такой граф называется мультиграфом.
Взвешенный граф-…граф ,ребрам которого приписаны веса. Иногда изображается в виде пары (G,w), где w - весовая функция, определенная на множестве ребер графа и отображающая множество ребер в некоторую соответствующую ему область значений.
Плоский граф(планарный)- такой граф, который может быть изображен на плоскости так, что все точки пересечения ребер являются вершинами.
33) Описать основные способы задания графов:матрица смежности,матрица инцидентности,список смежности.Степени вершин графа.Теоремы о свойствах степени вершин.
Степенью вершины v графа G называется число инцидентных ей рёбер, т.е. число рёбер, выходящих из данной вершины. (В случае псевдографов каждая петля добавляет 2 в степень вершины). Обозначается степень вершины v графа G: degGv или просто deg v, если ясно, о каком графе G идет речь.
Теоремы:
34)Что называется маршрутом в графе? Основные виды маршрутов : определения и примеры. Нахождение кратчайших маршрутов.
Существует 3 определения маршрута:
1)Последовательность М =(м1,м2…мn) ребер этого графа, в которой любая пара соседних ребер имеет общую вершину, т.е любая i = 1,2,…,k-1,если мi = (x,y),то мi +1 = (y,z), где x,y,z – некоторые вершины графа.
2)последовательность M=(x1,x2,…,xк+1) вершин графа G, в которой любые две соседние вершины являются смежными, т.е любая i = 1,2,…,к; в графе G есть ребра(хi,хi+1)
3)Чередующаяся последовательность М =(м1, x1 ,м2, x2…мк , xк+1),вершин и ребер графа G, в которой любая I = 1,2,…,к имеет место ui = (хi,хi+1)
Для ориентированных графов при определении маршрута учитывается также направление ребер: необходимо, чтобы каждое ребро ui = (хi,хi+1) являлось выходящим для вершины хi и входящим в вершину хi+1
Маршрут называется замкнутым, если в нем совпадают начальная и конечная вершины.
Цепью называется незамкнутый маршрут, в котором нет повторяющихся ребер.
Простой цепью называется цепь, не содержащая повторяющихся вершин.
Циклом называется замкнутый маршрут, не содержащий повторяющихся ребер.
Простым циклом называется цикл, не содержащий повторяющихся вершин(кроме первой и последней, которые совпадают в силу замкнутости)
Граф называется связным, если для любых двух его вершин существует соединяющая их цепь. Если хотя бы для одной пары вершин не существует соединяющей их цепи, то граф называется несвязным. Несвязный граф состоит из нескольких компонент связности, каждая из которых является связным подграфом графа G. Всякая изолированная вершина образует отдельную компоненту связности.
Нахождение кратчайших маршрутов :
В задачах, связанных с нахождением кратчайших путей на графах, речь идет о взвешенных графах. В некотором смысле эта задача близна о задаче с лабиринтами. Или задача, о схеме дорог, где необходимо найти кратчайший маршрут. Вершинами графа в такой задаче являются перекрестки дорог, ребрами – участки дорог между перекрестками. Веса ребер будут соответствовать протяженности этих участков дороги. Кратчайший путь на графе соответствует кратчайшему маршруту на местности.
Пусть в графе G = (X,V) матрица S размером n×n задает отношение смежности между вершинами с указанием весов соответствующих ребер и необходимо найти кратчайшее расстояние от вершины х до вершины у. Для решения этой задачи имеются различные алгоритмы. В основе большинства из них лежат след. действия : вычисляются некоторые верхние ограничения d(z) на расстояния от х до всех вершин z. Каждый раз, когда находим некоторую вершину t такую, что
d(t) + S(t,z)<d(z),
производим улучшение оценки d(z) путем присваивания
d(z) : = d(t) + S(t,z)
Процесс заканчивается, когда невозможно улучшение ни одного ограничения. Тогда для любого z, d(z) – кратчайшее расстояние от х до z. При такой схеме действий для того, чтобы найти расстояние от х до у, вычисляются расстояния от х до всех остальных вершин z принадлежащих Х.