- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2 Бинарные отношения на множестве
- •Вопрос 3-4
- •Вопрос 5:
- •Вопрос 1.
- •Вопрос 2 Бинарные отношения на множестве
- •Вопрос 3-4
- •Вопрос 5:
- •Вопрос 10
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 14
- •16. Запишите определение основных операций алгебры логики. Дать определение функции алгебры логики.
- •17. Как задать функцию алгебры логики в виде таблицы истинности и формулы? Сколько существует логических функций от n переменных?
- •18. Опишите понятие «булева алгебра логических функций». Опишите правила основные свойства операций, представленных в булевой алгебре. Примените эти правила для упрощения формул.
- •19. Дайте определения сднф и скнф. Как построить такие представления для произвольной логической функции, заданной таблицей истинности или формулой?
- •20. Какие функции называются монотонными, линейными, самодвойственными, сохраняющими ноль и сохраняющими единицу? Приведите примеры таких функций. Докажите замкнутость классов таких функций. Вопрос 27
- •Вопрос 28
- •Вопрос 29
- •Вопрос 30
- •Вопрос 31
- •32)Дать определение графа и основных его видов:ориентированный и неориентированный,мультиграф,взвешенный граф,граф с петлями,планарный граф
- •33) Описать основные способы задания графов:матрица смежности,матрица инцидентности,список смежности.Степени вершин графа.Теоремы о свойствах степени вершин.
- •34)Что называется маршрутом в графе? Основные виды маршрутов : определения и примеры. Нахождение кратчайших маршрутов.
- •35)Дать определение эйлеровых циклов и цепей,условия их существования в графе.Описать построения эйлерова цикла.
- •36)Дать определиние гамильтонова цикла и цепи.
Вопрос 2 Бинарные отношения на множестве
Пусть RАА. Определим некоторые свойства, которыми может обладать или не обладать такое отношение:
рефлексивность если a=b, то aRb;
антирефлексивность если aRb, то ab;
симметричность если aRb, то bRa;
антисимметричность если aRb и bRa, то a=b;
транзитивность если aRb и bRс, то aRс;
Рассмотрим некоторые типы бинарных отношений, характеризуемые определенным тем или иным набором свойств.
Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Примерами отношения эквивалентности являются равносильность формул, подобие геометрических фигур, принадлежность студентов к одной группе, принадлежность населенных пунктов к одному району и т.п. Отношение эквивалентности делит множество на непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности. С другой стороны, всякое разбиение множества М на непересекающиеся подмножества задает отношение эквивалентности на множестве М: любые два элемента, принадлежащие одному и тому классу разбиения, эквивалентны, а элементы, принадлежащие различным классам, не являются эквивалентными. Множество элементами которого являются все классы эквивалентности образует фактор-множество множества М по R (обозначается M / R).
Отношение совместимости рефлексивно и симметрично. Примерами отношения совместимости являются близость чисел, знакомство людей и т.п.
Отношение нестрогого порядка рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношения (меньше или равно) и (больше или равно) для действительных чисел так же, как и для множеств являются отношениями нестрогого порядка.
Отношение строгого порядка антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношениями строгого порядка являются (меньше) и (больше) для действительных чисел, а также и для множеств.
Множество М, на котором задано отношение порядка R (строгого или нестрогого), может быть полностью упорядоченным, если любые два элемента a и b из М находятся в отношении R, т.е. aRb или bRa. При этом говорят, что a и b сравнимы. Если М содержит хотя бы одну пару элементов с и d, для которых не имеет место ни cRd, ни dRc, то множество М является частично упорядоченным, а указанные элементы с и d несравнимы. Отношение полного порядка обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности и дихотомии. Полный порядок называют еще линейным или совершенным.
Для множества действительных чисел R отношения и являются отношениями полного порядка. Для семейства подмножеств некоторого множества М отношение является отношением частичного порядка. Например, {a1,a3}{a1,a2,a3}, а подмножества {a1,a3} и {a1,a2,a4} несравнимы.
Порядок букв в алфавите и естественный порядок цифр являются полными порядками. На основе порядка букв строится лексикографический порядок слов, используемый в словарях и определяемый следующим образом. Обозначим это отношение символом . Пусть имеются слова w1=a11a12…a1m и w2=a21a22…a2n. Тогда w1 w2, если и только если либо w1=paiq, w2=pajr и аi aj, где p, q и r – некоторые слова, возможно, пустые, а аi и aj – буквы, либо w2=w1p, где р – непустое слово.
Например, учебник ученик и мор море. В первом случае р=уче, аi=б, аj=н, q=r=ник, и в алфавите буква «н» стоит дальше буквы «б». Потому в словаре слово «ученик» следует искать после слова «учебник». Во втором случае w1=мор и р=е. Согласно лексикографическому порядку слово «море» должно быть помещено в словаре после слова «мор».
!Еще ко второму вопросу:!
Отношения эквивалентности. Рассмотрим множество A.
Определение 3. Бинарное отношение R ⊂ A × A называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:
рефлексивность: aRa, (23)
симметричность: aRb ⇒ bRa, (24)
транзитивность: aRb & bRc ⇒ aRc (25)
для любых элементов a, b, c ∈ A.
Очень часто отношения эквивалентности обозначают символом ~. В этом случае свойства (23)_
(25) перепишутся в виде
рефлексивность: a ~a,
симметричность: a ~ b ⇒ b ~ a,
транзитивность: a ~ b & b ~ c ⇒ a ~ c.
Пример 12. Свойство двух карт колоды быть одной масти является отношением эквивалентности.
Пример 13. Свойство двух точек плоскости, не совпадающих с началом координат O, лежать на одном луче, проходящем через O, _ отношение эквивалентности.
Пример 14. Скажем, что два множества равномощны (или имеют одинаковую мощность), если между ними существует взаимно-однозначное соответствие. Равномощность является отношением эквивалентности.
Пусть ~ _ отношение эквивалентности на множестве A. Подмножество
[a] = { b ∈ A | b ~ a } ⊂ A
называется классом эквивалентности элемента a (построенным по отношению ∼).
Предложение 6. Любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.
Определение 4. Множество классов эквивалентности, построенных по некоторому отношению ~, называется фактормножеством и обозначается через A/ ~. Сопоставление каждомуэлементу a ∈ A его класса эквивалентности называется факторотображением, или отображением факторизации:
_ : A → A/ ~, _(a) = [a].
Пример 15. В примере 12 фактормножеством является множество мастей, а отображение фак-торизации сопоставляет каждой карте её масть.
Пример 16. В примере 13 каждому классу эквивалентности можно сопоставить угол между соответствующим лучом и положительным направлением оси OX, а фактормножество отожде- ствить, например, с единичной окружностью с центром в начале координат.
Пример 17. В примере 14 множества объединяются в классы эквивалентности, содержащие равномощные множества. Такой класс эквивалентности называется кардинальным числом, хотя и не является числом в обычном понимании (см. ниже).
Отношения порядка. Пусть A _ множество.
Определение 5. Отношение R ⊂ A × A называется отношением порядка, если оно обладает
следующими свойствами:
рефлексивность: aRa, (26)
транзитивность: aRb & bRc ⇒ aRc, (27)
антисимметричность: aRb & bRa ⇒ a = b. (28)
Если множество снабжено отношением порядка, оно называется упорядоченным. Если отношение
порядка обладает дополнительным свойством
∀a, b ∈ A: aRb ∨ bRa, (29)
то множество называется линейно упорядоченным.
Отношение порядка часто обозначается символом 6. В этом случае свойства (26)_(28) перепи шутся в виде
рефлексивность: a R a
транзитивность: a R b & b 6 c ⇒ a R c
антисимметричность: a R b & b R a ⇒ a = b,
а свойство (29) _ в виде
∀a, b ∈ A: a R b ∨ b R a.
Пример 18. Отношение .меньше. является отношением линейного порядка на множестве натуральных (а также целых, рациональных и действительных) чисел.
Пример 19. Свойство множества быть подмножеством другого определяет отношение порядка
на множестве 2A, где A _ какое-то множество. Этот порядок не является линейным.
Пример 20 (лексикографический порядок). Пусть A _ какой-то алфавит (например, кириллический или латинский), то есть конечное и линейно упорядоченное множество букв. Тогда множество слов, записанных в этом алфавите тоже линейно упорядочено (как это сделано в словарях).
Этот порядок слов называется лексикографическим.