Вопрос 3-4

Пример 1

N-множество натуральных чисел

Отношение “≤” на множествах N и D рефлексивно, а отношение “<” антирефлексивно. N

Бинарное отношение называется симметричным, если (x,y) ∈R⇒(y,x) ∈R. То есть для любой пары отношение выполняется в обе стороны либо не выполняется вообще. Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Отношение R называется антисимметричным, если из (x, y) ∈R и (y,x) ∈R следует x = y.

Пример 2

1. Отношение “∩” является симметричным.

Отношение “≤” является антисимметричным.

Бинарное отношение называется транзитивным, если (x,y) ∈ R и (y,z) ∈ R, ⇒ (x, z),∈R .

Пример 3

1. Отношение “=” на D является транзитивным: .x=y и y=z ⇒ x=z

2. Отношение “≤” на является транзитивным.

3. Отношение включения для множеств транзитивно: . A⊆B и B⊆C⇒A⊆C

4. Отношение “∩” не транзитивно: из A∩B≠∅ и B∩C≠∅ не следует A∩C≠∅.

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 4

1. Отношение равенства на D есть отношение эквивалентности.

3. Отношение “иметь один и тот же остаток от деления на какое-либо число” является эквивалентностью на N

Вопрос 5:

Рефлексивное, транзитивное и асимметричное отношение на множестве А называется частичным порядком на .

Такие бинарные отношения часто обозначаются символом “≤”. Тогда аксиомы частичного порядка можно записать в виде:

1) x≤x для всех – рефлексивность x ∈A;

2) из x≤y и y≤z следует x = y – антисимметричность;

3) из x≤y и y≤z следует x≤z – транзитивность.

Пример 6

1. Обычное отношение “≤” на множествах N и D является частичным порядком.

2. Отношение делимости на N.

Для любого множества отношение “⊆” является частичным порядком на множестве всех подмножеств U.

Отношение, обратное к частичному порядку “≤”, является частичным порядком, который называется двойственным к “≤” и обозначается “≥”. Таким образом x ≥y, , тогда и только тогда, когда y ≤x Если и x ≤y и x ≠ y, то используется обозначение x <y.

Бинарное отношение на называется отношением нестрогого частичного порядка (или нестрогим порядком) на , если оно транзитивно, антисимметрично и рефлексивно, то есть

1. 

2. 

3. 

Вопрос 1.

Отношения

Любое подмножество RА₁А₂…А_п декартова произведения п множеств называется п-арным отношением. При п=1,2,3 имеем унарное, бинарное, тернарное отношения соответственно. Унарное отношение на множестве А представляет собой подмножество множества А.

Бинарным отношением, или соответствием между элементами множеств А и В называется любое подмножество RАВ декартова произведения этих множеств. Тот факт, что некоторые aA и bВ находятся в отношении R, иногда выражают как aRb. В качестве примера бинарного отношения рассмотрим отношение R между элементами множеств А={1,2,3} и B={1,2,3, 4,5,6}, которое можно выразить словами так: элемент хA есть делитель элемента уВ. Тогда имеем

R={(1,1), (1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6)}.

Бинарное отношение удобно представлять в виде двоичной (булевой) матрицы. Если i-й элемент множества А соответствует j-му элементу множества В, то элемент матрицы, расположенный на пересечении i-ой строки и j-го столбца, имеет значение 1, в противном случае он имеет значение 0. Например, рассмотренное выше отношение R будет представлено следующей матрицей:

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 2

0 0 1 0 0 1 3

Проекция элемента (a,b) множества АВ на множество А есть элемент а. Аналогично, элемент b является проекцией элемента (a,b) множества АВ на множество В. Проекцией множества ЕАВ на А называется множество всех тех элементов из А, которые являются проекциями элементов из Е на множество А. Для множеств А и В, рассмотренных выше, проекцией элемента (2,4) на множество А является элемент 2, а проекцией множества {(1,2),(2,2), (2,4)} – множество {1, 2}.

Унарные отношения _ это просто подмножества множества A. Например, свойство карты быть бубной является унарным отношением, определённым на колоде карт.

Примеры унарных операций.

• В алгебре:

• Возведение в заданную степень

• Изменение знака числа

• Комплексное сопряжение

• В геометрии:

• Преобразование подобия

• Отражение фигуры относительно заданной оси

• Инверсия

Пример тернарного отношения.

Например, свойство трёх точек быть вершинами равностороннего треугольника _ тернарное отношение на плоскости. Свойство трёх человек быть отцом, матерью и ребёнком является тернарным отношением на множестве всех людей.