Вопрос 3-4

Пример 1

N-множество натуральных чисел

Отношение “≤” на множествах N и D рефлексивно, а отношение “<” антирефлексивно. N

Бинарное отношение называется симметричным, если (x,y) ∈R⇒(y,x) ∈R. То есть для любой пары отношение выполняется в обе стороны либо не выполняется вообще. Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали.

Отношение R называется антисимметричным, если из (x, y) ∈R и (y,x) ∈R следует x = y.

Пример 2

1. Отношение “∩” является симметричным.

Отношение “≤” является антисимметричным.

Бинарное отношение называется транзитивным, если (x,y) ∈ R и (y,z) ∈ R, ⇒ (x, z),∈R .

Пример 3

1. Отношение “=” на D является транзитивным: .x=y и y=z ⇒ x=z

2. Отношение “≤” на является транзитивным.

3. Отношение включения для множеств транзитивно: . A⊆B и B⊆C⇒A⊆C

4. Отношение “∩” не транзитивно: из A∩B≠∅ и B∩C≠∅ не следует A∩C≠∅.

Бинарное отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 4

1. Отношение равенства на D есть отношение эквивалентности.

3. Отношение “иметь один и тот же остаток от деления на какое-либо число” является эквивалентностью на N

Вопрос 5:

Рефлексивное, транзитивное и асимметричное отношение на множестве А называется частичным порядком на .

Такие бинарные отношения часто обозначаются символом “≤”. Тогда аксиомы частичного порядка можно записать в виде:

1) x≤x для всех – рефлексивность x ∈A;

2) из x≤y и y≤z следует x = y – антисимметричность;

3) из x≤y и y≤z следует x≤z – транзитивность.

Пример 6

1. Обычное отношение “≤” на множествах N и D является частичным порядком.

2. Отношение делимости на N.

Для любого множества отношение “⊆” является частичным порядком на множестве всех подмножеств U.

Отношение, обратное к частичному порядку “≤”, является частичным порядком, который называется двойственным к “≤” и обозначается “≥”. Таким образом x ≥y, , тогда и только тогда, когда y ≤x Если и x ≤y и x ≠ y, то используется обозначение x <y.

Бинарное отношение на называется отношением нестрогого частичного порядка (или нестрогим порядком) на , если оно транзитивно, антисимметрично и рефлексивно, то есть

Вопрос 10

(из книжки)

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией   называется группой (G, * ), если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность:  ;

2. наличие нейтрального элемента:  ;

3. наличие обратного элемента: 

(интернет)

Вопрос 11

(из книжки)

Кольцо

K=<M;x;+>

-k-коммутативная группа по сложению

-умножение является ассоциативным

- +> дистрибутивность

a * (c+b)=a*b+a*c

(из лекции)

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1.  — коммутативность сложения;

2.  — ассоциативность сложения;

3.  — существование нейтрального элемента относительно сложения;

4.  — существование обратного элемента относительно сложения;

5.  — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы^[1])

6.  — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра  , такая что алгебра   — абелева группа, алгебра   — полугруппа и операция + дистрибутивна слева и справа относительно  . Кольцо ассоциативно, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

• наличие единицы:   (кольцо с единицей);

• коммутативность умножения:   (коммутативное кольцо);

• отсутствие делителей нуля:  .

Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.

(интернет)