2. Определение булевой функции. Способы определения булевых функций. Булевы функции одной и двух переменных.

Бу́лева фу́нкция (или логи́ческая функция, или функция а́лгебры ло́гики) от n переменных — в дискретной математике отображение Bn → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0 обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определенного смысла. Неотрицательное целое число n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу. Элементы декартова произведения Bn называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа переменных часто обозначается P2, а от n переменных — P2(n). Булевы функции названы так по фамилии математика Джорджа Буля.

Булева (логическая) функция – это функция, принимающая значения 0 или 1 в результате логических операций над логическими переменными. Операции над переменными записываются с помощью символов: &, ∨, –, ⊕, → и т.д.

Булева функция может быть задана:

1) словесным описанием (назначением, определением),

2) таблицей истинности,

3) формулой, состоящей из букв, знаков логических операций и скобок,

4) комбинационной схемой, составленной из логических элементов,

5) координатным способом (картой Карно),

6) переключательной схемой,

7) диаграммой Венна,

8) геометрическим способом (гиперкубами),

9) диаграммой двоичного решения и т.д.

Произвольная булева функция задается одним из трех способов: матричным (табличным), геометрическим и аналитическим. При матричном способе булева функция f(х1,...,х _n) задается таблицей истинности (таблицы 1), в левой части которой представлены все возможные двоичные наборы длины n, а в правой указывается значение функции на этих наборах.

Таблица 1

x₁x₂x₃f

000 0

001 1

010 0

011 0

100 1

101 1

110 0

111 1

При геометрическом способе булева функция f(х1,...,хn) задается с помощью n-мерного куба. В геометрическом смысле каждый двоичный набор y=<y1,y2,...,yn>, y_i принадлежит множеству {0, 1}, есть n-мерный вектор, определяющий точку n-мерпого пространства. Исходя из этого, все

множество наборов, на которых определена функция n переменных, представляется вершинами n-мерного куба. Отмечая точками вершины куба, в которых функция принимает единичное (либо нулевое) значение, получим геометрическое представление функции.

При аналитическом способе булева функция задается формулами, т. е. аналитическими выражениями, построенными на основе операций булевой алгебры. Аналитический способ задания булевых функций занимает особое место в проектировании цифровых автоматов. Фактически, все преобразования над булевыми функциями, необходимые для построения цифровых автоматов, ведутся на аналитическом уровне.

Функции одной переменной y=f(x). Перенумеруем эти функции (их 4) естественным образом и расположим в виде таблицы:

x f0 f1 f2 f3

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

Видно, что f0 (х) = 0, a f3 (х) =1, т. е. эти две функции не зависят от х, f1 (х) = х, т. е. она не меняет аргумента. Функция f2 (х) действительно содержательная функция. Она принимает значения, противоположные значениям аргумента, обозначается f2 (х)= и называется отрицанием (применяют еще обозначение ù x (читается “не x”)).

Функции двух переменных z = f(x,y).

Число этих функций равно 2⁴ = 16. Перенумеруем и расположим их тоже в естественном порядке.

Рассмотрим более подробно эти функции. Две из них f0 = 0 и f15 = 1 являются константами. Функции

являются по существу функциями одной переменной.

Наиболее важные функции двух переменных имеют специальные названия и обозначения. Заметим, что эти обозначения не всегда общеприняты.

Перечислим 7 важнейших функций:

1) конъюнкция (функция И)

Заметим, что конъюнкция – это фактически обычное умножение (нулей и единиц). Иногда эту функцию обозначают x&y;

2) дизъюнкция (функция или)

3) импликация (следование)

Это очень важная функция, особенно в логике. Ее можно рассматривать следующим образом: если х = 0 (т. е. х “ложно”), то из этого факта можно вывести и “ложь”, и “истину” (и это будет правильно), если у = 1 (т. е. у “истинно”), то истина выводится и из “лжи” и из “истины”, и это тоже правильно. Только вывод “из истины ложь” является неверным. Заметим, что любая теорема всегда фактически содержит эту логическую функцию;

4) сложение по модулю 2 (здесь и далее, если не оговорено противное, знаком “+” мы будем обозначать такое сложение):

5) эквивалентность или подобие

Эта f9 = 1 тогда и только тогда, когда х = у. Заметим, что будем применять оба обозначения: ху (в основном при изучении функций) и х~ у (когда речь будет идти о логических операциях);

6) штрих Шеффера

Иногда эту функцию называют “не и” (так как она равна отрицанию конъюнкции);

7) стрелка Пирса

Эта функция является отрицанием дизъюнкции и поэтому иногда ее называют “не или”.