Лабораторная работа №5 Тема: Интерполирование функций
Пусть функция
задана таблично, либо вычисление ее
требует громоздких выкладок. Заменим
приближенно функцию
на какую-либо функцию
,
так, чтобы отклонение
от
было в заданной области в некотором
смысле минимальным. Подобная замена
называется аппроксимацией функции
,
а функция
– аппроксимирующей (приближающей)
функцией.
Классический подход к решению задачи
построения приближающей функции
основывается на требование строгого
совпадения значений
и
в точках
(
,
т. е.
.
(3.1)
В этом случае нахождение приближенной
функции называют интерполяцией (или
интерполированием), точки
–
узлами интерполяции.
Часто интерполирование ведется для
функций, заданных таблицами с
равноотстоящими значениями аргумента
.
В этом случае шаг таблицы
является величиной постоянной. Для
таких таблиц построение интерполяционных
формул (как, впрочем, и вычисление по
этим формулам) заметно упрощается.
Задание 1
По заданной таблице значений функции
составить формулу интерполяционного
многочлена Лагранжа (3.2) и построить
график
Исходные данные берутся из таблицы 3.1.
+
+
(3.2)
Tаблица 3.1.
№ |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
7 |
2 |
4 |
2 |
3 |
5 |
2 |
8 |
3 |
0 |
2 |
3 |
-1 |
-4 |
2 |
4 |
7 |
9 |
13 |
2 |
-2 |
3 |
5 |
-3 |
-1 |
3 |
7 |
-1 |
4 |
6 |
1 |
2 |
4 |
-3 |
-7 |
2 |
7 |
-2 |
-1 |
2 |
4 |
9 |
1 |
8 |
2 |
4 |
5 |
9 |
-3 |
6 |
9 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
8 |
5 |
10 |
-1 |
1.5 |
3 |
4 |
-7 |
1 |
11 |
2 |
4 |
7 |
-1 |
-6 |
3 |
12 |
-9 |
-7 |
-4 |
3 |
-3 |
4 |
13 |
0 |
1 |
4 |
7 |
-1 |
8 |
14 |
8 |
5 |
0 |
9 |
2 |
4 |
15 |
-7 |
-5 |
-4 |
4 |
-4 |
5 |
Задание 2
Вычислить одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента ( ) с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа (3.3) и оценить погрешность интерполяции. Для выполнения задания исходные данные берутся из таблицы 3.2, 3.3 или 3.4.
(3.3)
Для погрешности
выполняется неравенство
, 
(3.4)
где
Таблица 3.2
№ варианта |
Значение а |
№ таблицы |
1 |
-2 |
3.3 |
2 |
3.77 |
3.4 |
3 |
0.55 |
3.3 |
4 |
4.83 |
3.4 |
5 |
3.5 |
3.3 |
6 |
5.1 |
3.4 |
7 |
1.75 |
3.3 |
8 |
4.2 |
3.4 |
9 |
-1.55 |
3.3 |
10 |
6.76 |
3.4 |
Таблица 3.3
|
-3.2 |
-0.8 |
0.4 |
2.8 |
4.0 |
6.4 |
7.6 |
|
-1.94 |
-0.61 |
0.31 |
1.81 |
2.09 |
1.47 |
0.68 |
Таблица 3.4
|
1.3 |
2.1 |
3.7 |
4.5 |
6.1 |
7.7 |
8.5 |
|
1.777 |
4.563 |
13.84 |
20.39 |
37.34 |
59.41 |
72.4 |
Таблица 3.5
|
0.10 |
0.15 |
0.20 |
0.25 |
0.30 |
0.35 |
0.40 |
|
0.995 |
0.988 |
0.980 |
0.969 |
0.955 |
0.939 |
0.921 |
Таблица 3.6
|
0.65 |
0.70 |
0.75 |
0.80 |
0.85 |
0.90 |
0.95 |
|
0.605 |
0.644 |
0.681 |
0.71 |
0.75 |
0.783 |
0.813 |
