5.Рішення системи лінійній алгебрі рівняння методом простих ітерацій

П орядок виконання завдання

1. Введіть матриці C і d.

2. Перетворіть початкову систему Cx=d к виду x=b+Ax.

3. Визначте нульове наближення рішення.

4. Задайте кількість ітерацій.

5. Обчисліть послідовні наближення.

6.Рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Зейделя

Порядок виконання завдання

1. Введіть матриці С і d.

2. Перетворіть систему Cx=d до вигляду x=b+A1x+A2x.

3. Визначте нульове наближення рішення.

4. Задайте кількість ітерацій.

5. Обчисліть послідовні наближення.

Таблица 2

№ вар.
1	0.35 0.12 - 0.13	0.12 0.71 0.15	- 0.13 0.15 0.63	0.10 0.26 0.38
2	0.71 0.10 - 0.10	0.10 0.34 0.64	0.12 - 0.04 0.56	0.29 0.32 - 0.10
3	0.34 - 0.04 0.06	- 0.04 0.44 0.56	0.10 - 0.12 0.39	0.33 - 0.05 0.28
4	0.10 - 0.04 - 0.43	- 0.04 0.34 0.05	- 0.63 0.05 0.13	- 0.15 0.31 0.37
5	0.63 0.05 0.15	0.05 0.34 0.10	0.15 0.10 0.71	0.34 0.32 0.42
6	1.20 - 0.50 - 0.30	- 0.20 1.70 0.10	0.30 - 1.60 - 1.50	- 0.60 0.30 0.40
7	0.30 - 0.10 - 1.50	1.20 - 0.20 - 0.30	- 0.20 1.60 0.10	- 0.60 0.30 0.70
8	0.20 0.58 0.05	0.44 - 0.29 0.34	0.91 0.05 0.10	0.74 0.02 0.32
9	6.36 7.42 1.77	1.75 19.03 0.42	1.0 1.75 6.36	41.70 49.49 27.67
10	3.11 - 1.65 0.60	- 1.66 3.15 0.78	- 0.60 - 0.78 - 2.97	- 0.92 2.57 1.65

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. До якого типу - прямому або ітераційному - відноситься метод Гауса?

2. У чому полягає прямий і зворотний хід в схемі єдиного ділення?

3. Як організовується, контроль над обчисленнями в прямому і зворотному ході?

4. Як будується ітераційна послідовність для знаходження рішення системи лінійних рівнянь?

5. Як формулюється достатні умови збіжності ітераційного процесу?

6. Як ці умови пов'язані з вибором метрики простору?

7. У чому відмінність ітераційного процесу методу Зейделя від аналогічного процесу методу простій ітерації?

Лабораторна робота №4

Тема:Чисельне інтегрування і диференціювання

1. Обчислення визначених інтегралів

Хай потрібно обчислити визначений інтеграл на інтервалі [a;b].

Далеко не завжди завдання може бути вирішене аналітично. Зокрема, чисельне рішення потрібне у тому випадку, коли подинтегральная функція задана табличний. Для чисельної інтеграції подинтегральную функцію апроксимують якій-небудь більш простій функцією, інтеграл від якої може бути обчислений. Зазвичай як апроксимуюча функція використовують поліном. У разі полінома нульового ступеня метод чисельної інтеграції називають методом прямокутників, у разі полінома першого ступеня - методом трапецій, у разі полінома другого ступеня - методом Симпсона. Всі ці методи є окремими випадками формул квадратури Ньютона-котеса.

Отже, в методі трапецій подинтегральную функцію апроксимують поліномом першого ступеня, тобто прямою лінією. Це означає, що замість площі криволінійної трапеції ми шукатимемо площу прямокутної трапеції. Наближене значення інтеграла рівне

2. Обчислення визначених інтегралів в MathCad

Для обчислення певного інтеграла необхідно вибрати знак інтеграла з палітри або набрати його натисненням клавіші &. Після цього слід вписати межі інтеграції, подинтегральную функцію і змінну інтеграції. Mathcad успішно справляється з більшістю інтегралів, зокрема, з невласними. Точність обчислень регулюється вбудованій змінній TOL. За умовчанням її значення встановлене

.

Приклад 1

Приклад 2

Обчислити інтеграл від заданої функції на відрізку [a,b] по формулі трапецій і прямим способом.

3. Рішення диференціальних рівнянь

Звичайні диференціальні рівняння

Хай необхідно знайти рішення рівняння

з початковою умовою . Таке завдання називається задачою Коші. Розкладемо шукану функцію у ряд поблизу точки і обмежимося першими двома членами розкладання . Врахувавши рівняння і позначивши , одержуємо Цю формулу можна застосовувати багато разів, знаходячи значення функції у все нових і нових точках.

Такий метод рішення звичайних диференціальних рівнянь називається методом Ейлера. Геометрично метод Ейлера означає, що на кожному кроці ми апроксимуємо рішення (інтегральну криву) відрізком дотичною, проведеною до графіка рішення на початку інтервалу. Точність методу невелика і має порядок h. Говорять, що метод Ейлера - метод першого порядку, тобто його точність росте лінійно із зменшенням кроку h.

Метод Ейлера для диференціальних рівнянь першого порядку

Вирішимо завдання Коші для диференціального рівняння першого порядку методом Ейлера.

Хай права частина рівняння рівна

Задамо межі змінений x:

Задамо число точок і величину кроку:

Задамо початкові умови:

Обчислимо x і у по формулах Ейлера

Представимо результат графічно і порівняємо його з аналітичним рішенням

Точне аналітичне рішення і рішення, одержане чисельно, відрізняються в точці x=1 на

Тобто відносна помилка складає