Міністерство освіти і науки України

Кіровоградський національний технічний університет

Кафедра обчислювальної техніки та прикладної математики

Обчислювальна математика

Методичні вказівки

до лабораторних робіт

для студентів спеціальностей напрямку 6.100102 "Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва"

Затверджено на засіданні кафедри ОТ і ПМ. Протокол № 1 від 27.08.2010 р.

Кіровоград – 2010

Обчислювальна математика. Методичні вказівки до лабораторних робіт для студентів спеціальностей напрямку 6.100102 "Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва"/ К.М. Марченко – Кіровоград: КНТУ, 2010. – 68 с.

Для студентів спеціальностей напрямку 6.100102 "Процеси, машини та обладнання агропромислового виробництва" при вивченні навчальної дисципліни „Обчислювальна математика”. Визначено тематику лабораторних робіт, подано довідку про необхідний для їх виконання обсяг знань, приведені варіанти індивідуальних робіт.

Автор-укладач:

Марченко Костянтин Миколайович - канд. техн. наук, доцент кафедри обчислювальної техніки та прикладної математики

Зміст

Вступ 3

Лабораторна робота №1. Метоли дослідження математичних

функцій. 4

Лабораторна робота №2. Рішення задач лінійної алгебри.

Операцї над векторами та матрицями 8

Лабораторна робота №3. Обчислення коренів поліному.

Розв’язування систем лінійних рівнянь 12

Лабораторна робота №4. Розв’язування нелінійних рівнянь та

систем нелінійних рівнянь. 16

Лабораторна робота №5. Розв’язування дифференційних рівнянь

та систем дифференційних рівнянь 20

Лабораторна робота №6. Чисельне інтегрування та дифферен-ціювання функцій 24

Лабораторна робота №7. Методи інтерполяції функцій 28

Лабораторна робота №8. Аппроксимація залежностей за

масивами даних 32

Лабораторна робота №9. Рішення задач оптимізаційного типу 36

Література 40

Вступ

Обчислювальна математика (ОМ) - це розділ математики, що включає коло питань, зв'язаних з використанням електронних обчислювальних машин (ЕОМ). Часто термін ОМ розуміється також як теорія чисельних методів і алгоритмів вирішення типових математичних завдань.

В ОМ можна виділити наступні три великі розділи. Перший пов'язаний із вживанням ЕОМ в різних областях наукової і практичної діяльності і може бути охарактеризований як аналіз математичних моделей. Другий — з розробкою методів і алгоритмів вирішення типових математичних задач, що виникають при дослідженнях математичних моделей. Третій розділ пов'язаний з питанням про спрощення взаємин людини з ЕОМ, включаючи теорію і практику програмування завдань для ЕОМ, у тому числі автоматизацію програмування завдань.

Аналіз математичних моделей включає вивчення постановки задачі, вибір моделі, аналіз і обробку вхідної інформації, чисельне рішення математичних задач, що виникають у зв'язку з дослідженням моделі, аналіз результатів обчислень, і, нарешті, питання, пов'язані з реалізацією отриманих результатів.

Використання математичних моделей дозволяє виконувати дослідження не з реаальними об’єктами, наприклад машинами під час їх розробки та удосконалення, а з комп’ютерними програмами, що значно зменшує витрати коштів та часу.

Вивчення реальних явищ на основі аналізу побудованих моделей як правило, вимагає розвитку чисельних методів і залучення ЕОМ. Таким чином, в ОМ важливе місце займають чисельні методи вирішення поставлених математичних задач.

Як приклад типових задач ОМ можна назвати задачі лінійної алгебри, чисельні методи диференціювання і інтегрування функцій одної або декількох змінних; чисельні методи рішення звичайних диференціальних рівнянь. Значне число досліджень присвячене чисельним методам вирішення рівнянь з частковими похідними. Тут великий напрям складають «економічні методи», тобто методи, що дозволяють отримувати результати при відносно малому (економному) числі операцій.

Напрямом ОМ, що швидко розвивається, є чисельні методи оптимізації. Завдання оптимізації полягає у вивченні екстремальних (найбільших або найменших) значень функціоналів на певній множині.

Одним із спеціалізованих середовищ для рішення задач обчислювальної математики на ЕОМ є пакет прикладних програм автоматизованих математичних розрахунків MathCad.

Робота з документами MATHCAD не вимагає обов'язкового використання можливостей головного меню, оскільки основні з них дублюються кнопками швидкого управління, які розташовані в зручних переміщуваних за допомогою миші набірних панелях-палітрах. Набірні панелі з'являються у вікні редагування документів при активізації кнопок-піктограм. Вони служать для виведення заготовок-шаблонів математичних знаків (цифр, знаків арифметичних операцій, матриць, знаків інтеграла, похідних, границь та ін.).

Основні математичні панелі інструментів наведені на рис. 1:

Рисунок 1 – Основні математичні панелі інструментів MathCad

Лабораторна робота №1 Рішення задач лінійної алгебри. Операцї над векторами та матрицями

Для дій із векторами та матрицями використовується панель інструментів Matrix:

а також меню команд Symbolics/ Matrix.

Приклади операцій над векторами і матрицями можна переглянути у середовищі MathCad Help/ Resource Center/ Quick Sheets/ Vectors and Matrices.

Функії для операцій із веторами:

lenght (V)	повертає довжину вектора;
last (V)	повертає індекс останнього елемента;
max (V)	повертає максимальний за значенням елемент;
min (V)	повертає мінімальний за значенням елемент;
Re (V)	повертає вектор дійсних частин вектора з комплексними елементами;
Im (V)	повертає вектор уявних частин вектора з комплексними елементами;

Функії для операцій із матрицями:

Augment(M1, M2)	Поєднує в одну матрицю матриці М1 и М2, які мають однакову кількість рядків;
identity (n)	Створює одиничну квадратну матрицю розміром n*n;
stack (M1, M2)	Объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число столбцов, располагая М1 над М2;
Re (M)	Повертає матрицю дійсних частин матриці М з комплексними елементами;
Im (M)	Повертає матрицю уявних частин матриці М з комплексними елементами;

Специальні характеристики матриць:

cols (M)	повертає кількість стовпчиків матриці М;
rows (M)	повертає кількість рядків матриці М;
tr (M)	повертає суму діагональних елементів квадратної матриці М;

Функції для сортування векторів і матриць:

sort (V)	Сортування елементів вектора за зростанням значень;
reverse (V)	Сортування елементів (після sort) у зворотньому порядку;
csort (M,n)	Сотрування матриці за n-стовпчиком;
rsort (M,n)	Сотрування матриці за n-рядком;

Завдання:

Виконати операції над векторамим та матрицями згідно варіантам (для застосування деяких функцій вектори-рядки при необхідності транспонувати у вектори-стовпці):

Таблиця 7 – Початкові дані для обробки векторів і матриць:

Завдання	№ варіанта
	1	2	3	4	5
1. Вивести кількість елементів вектора, максимальний елемент і останній елемент
2. Транспонувати вектор	V1	X	T	Z	R
3. Знайти суму векторів	V1+V2	X+Y	T+U	Z+S	R+O
4. Визначити суму елементів вектора	V1	Y	U	S	O
5. Знайти значення функції	cos(V1)	Y3		5∙sin(Z)	3∙ctg®
6. Вивести кількість рядків та стовпчиків матриці
7. Транспонувати матрицю	A	N	K	M	L
8. Знайти визначник матриці
9. Знайти обернену матрицю	B-1	M-1	L-1	Q-1	D-1
10. Знайти значення функції	A2	tg(N)	cos (K)	ctg(M)	sin(L)
11. Відсортувати вектор у прямому та зворотному порядку	V1	X	T	Z	R
12. Упорядкувати матрицю за стовпчиком та рядком	A 2 1	N 1 2	K 0 1	M 2 3	L 2 1
13. Виділити з матриці вектор-стовпець	A 2	M 2	L 2	Q 3	D 2
14. Знайти			K1,12-	M2,3+Q3,22	L1,2+D2,2
15. Обчислити	-A/2	-N2			-L4
16. Додати в кінець матриці вектор-стовпець	A	N	L	Q	D
17. Виділити дійсну та уявну частину матриці
18. Задати одиничну матрицю Розміром	M1 4x4	K 3x3	Z 5x5	E 4x4	K 3x3
19. Знайти суму діагональних елементів матриці	M1	K	Z	E	K
20. Знайти векторний добуток

Продовження таблиці 7

Завдання	№ варіанта
	6	7	8	9	10
1. Вивести кількість елементів вектора, максимальний елемент і останній елемент
2. Транспонувати вектор	V1	X	T	Z	R
3. Знайти суму векторів	V1+V2	X+Y	T+U	Z+S	R+S
4. Визначити суму елементів вектора	V1	Y	U	S	O
5. Знайти значення функції	cos(V2)	Y2		5∙sin(Z)	3∙ctg(R)
6. Вивести кількість рядків та стовпчиків матриці
7. Транспонувати матрицю	A	N	K	M	L
8. Знайти визначник матриці
9. Знайти обернену матрицю	B-1	M-1	L-1	Q-1	D-1
10. Знайти значення функції	A2	сtg(N)	cos (K)	tg(M)	sin(L)
11. Відсортувати вектор у прямому та зворотному порядку	V1	X	T	Z	R

12. Упорядкувати матрицю за стовп-чиком та рядком	A 2 1	N 1 3	K 1 1	M 2 3	L 2 1
13. Виділити з матриці вектор-стовпець	A 2	M 2	L 2	Q 3	D 2
14. Знайти			K1,12-	M2,3+Q3,22	L1,2+D2,2
15. Обчислити	-A/2	-N2			-L4
16. Додати в кінець матриці вектор-стовпець	A	N	L	Q	D
17. Виділити дійсну та уявну частину матриці
18. Задати одиничну матрицю Розміром	M1 5x5	K 2x2	Z 5x5	E 4x4	K 3x3
19. Знайти суму діагональних елементів матриці	M1	K	Z	E	K
20. Знайти векторний добуток

Таблиця 8 – Приклади дій над векторами і матрицями:

Що робимо:	Як робимо:
Створення та транспонування вектора х
Сума елементів вектора
Мінімальний елемент вектора х
Максимальний елемент
Останній елемент
Кількість елементів вектора х
Сортування елементів вектора х у прямому та зворотньому порядку
Кількість стовпчиків та рядків матриці А
Сортування матриці А за другим стовпчиком та першим рядком
Додати вектор у кінець матриці
Виділити з матриці другий стовпчик у вигляді окремого вектора
Визначник матриці
Обчислити функцію від усіх елементів матриці
Виділити з матриці комплексних чисел дійсну та уявну частини