Лабораторна робота №3

Тема: Моделювання формування валютного кошика

Завдання: Нехай нам дано ціни валют чотирьох видів (американського долара, євро, фунта стерлінгів та російського рубля) за одну одиницю у національних грошових одиницях (гривні), які спостерігалися за минулі 12 періодів (12 місяців 2009 року, інформація про валюти представлена на основі даних НБУ). Сформувати «валютний кошик», тобто визначити співвідношення між валютами, у яких найкраще тримати грошові заощадження.

Хід виконання роботи: Сформувати «портфель цінних паперів» за зразком, наведеним нижче.

1) Нехай нам дано ціни валют чотирьох видів (американського долара, євро, фунта стерлінгів та російського рубля) за одну одиницю у національних грошових одиницях (гривні), які спостерігалися за минулі 12 періодів (12 місяців 2008 року, інформація про валюти представлена на основі даних НБУ)

Де:

j ‑ номер місяця;

– ціна однієї грошової одиниці і - ї країни у кінці j - го періоду

(

2)Обчислимо значення норми прибутку ( ) у періоди за формулою .

В результаті отримаємо такі значення норми прибутку для кожного періоду (табл. 2 ). Проілюструємо на графіку динаміку зміни валютних курсів даних грошових одиниць (рис. 1).

Курси валют за 2008 рік відносно гривні

Таблиця 1

Назва валюти	2008
	Січень	Лютий	Бере-зень	Квітень	Травень	Чер-вень	Ли-пень	Серпень	Вере-сень	Жов- тень	Листо-пад	Гру-день
100 англійських фунтів стерлінгів	996,72	992,18	1011,04	1000,55	979,33	952,84	963,08	919,66	873,78	858,24	925,51	826,00
100 доларів США	505,00	505,00	505,00	505,00	498,56	485,19	484,31	484,46	485,30	504,30	600,41	743,01
100 євро	742,67	743,61	781,34	796,23	775,73	753,51	764,08	729,12	698,53	675,46	765,13	953,88
10 російських рублів	2,06	2,06	2,12	2,15	2,10	2,05	2,07	2,01	1,92	1,91	2,20	2,6533

Таблиця 2

Норми прибутку валют за 2008 рік

rij	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
100 англійських фунтів стерлінгів		-0,005	0,019	-0,01	-0,021	-0,027	0,0107	-0,0451	-0,0499	-0,018	0,07838	-0,1075
100 доларів США		0	0	0	-0,013	-0,027	-0,0018	0,00031	0,00174	0,0391	0,19059	0,2375
100 євро		0,0013	0,0507	0,0191	-0,026	-0,029	0,014	-0,0458	-0,042	-0,033	0,13276	0,24669
10 російських рублів		0	0,0291	0,0142	-0,023	-0,023	0,0111	-0,0303	-0,0448	-0,004	0,15002	0,20562

Таблиця 3

Норми прибутку валют за 2008 рік збільшені на одиницю

rij+1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
100 англійських фунтів стерлінгів		0,9954	1,019	0,9896	0,9788	0,973	1,0107	0,95491	0,95012	0,9822	1,07838	0,89248
100 доларів США		1	1	1	0,9872	0,9732	0,9982	1,00031	1,00174	1,0391	1,19059	1,2375
100 євро		1,0013	1,0507	1,0191	0,9743	0,9714	1,014	0,95424	0,95805	0,967	1,13276	1,24669
10 російських рублів		1	1,0291	1,0142	0,9767	0,9768	1,0111	0,96975	0,95524	0,996	1,15002	1,20562

Рис. 1. Курси валют за 2008 рік

Як видно з таблиці 2 не всі значення є додатними, а як ми вже зазначали в цьому методі вважається, що ціна гри додатна, тому щоб цього досягти ми підбираємо таке число с, додавання якого до всіх елементів матриці виграшів дасть нам матрицю з додатними елементами і, відповідно, з додатнім значенням ціни гри. При цьому оптимальні змішані стратегії обох гравців не зміняться.

Проаналізувавши значення , робимо висновок, що для того, щоб всі елементи матриці були додатними достатньо збільшити їх на одиницю.

Отже в нашому випадку с =1. Тому сформуємо нову таблицю (табл. 3 ).

4) Визначимо, чи матриця складена з має сідловий елемент. Для цього знайдемо мінімальні елементи у рядках матриці, а тоді максимальне з них, та максимальні у стовпцях, а тоді мінімальне з них :

Отримаємо такі результати:

Мінімальні значення у рядках ( )

0,892478501

0,973188115

0,954242

0,955242

Максимальні значення у стовпцях матриці ( )
1,001266
1,050739
1,019057
0,987248
0,976816
1,014023
1,00031
1,001739
1,039147
1,190594
1,246849

Визначимо верхню і нижню ціну гри:

.

Оскільки α = 0,973188115 < 0,976816 = β , то сідлова точка у грі відсутня.

5) Оскільки матриця має розмірність 4 11, то задачу доцільно розв'язувати за допомогою лінійного програмування, точніше за допомогою симплексметоду. Як вже зазначалося раніше, нам необхідно розв'язати дві задачі: одну на мінімум цільової функції, оскільки перший гравець прагне знайти такі значення , і відповідно , щоб ціна гри була максимальною, а іншу ‑ на максимум, оскільки другий гравець прагне знайти такі значення , і відповідно щоб ціна гри була мінімальною. Отже, запишемо задачі:

Розв'язком цієї задачі є:

Оскільки (як зазначалося раніше) то

.

Далі з формули (14) отримуємо:

Запишемо тепер другу задачу:

Розв'язком цієї задачі є:

	0
	0
	0
	0
	0,951161
	0
	0
	0,07421259
	0
	0
	0

З формули (14) визначаємо:

	0
	0
	0
	0
	0,927624
	0
	0
	0,072376
	0
	0
	0

Отже, оптимальні змішані стратегії відповідно першого і другого гравців

= (0; 0,430404; 0; 0,569596);

= (0; 0; 0; 0; 0,927624; 0; 0; 0,072376; 0; 0; 0);

а ціна вихідної гри 0,97525448.

Отже, розв'язавши цю задачу, і згідно того, що модель (2)-(6) відповідає умові (7), тобто , а ми отримуємо такі результати нашого дослідження: оптимальну структуру „валютного кошика" можна записати у вигляді х = (0; 0,430404; 0; 0,569596). Це означає, що банку, який приймає участь у торгівлі на валютних ринках, доцільно свої кошти розпорошити між валютами – доларом та рублем у співвідношенні 43% : 57% відповідно, хоча курс долара не є найбільшим, проте за час дослідження, був стабільнішим порівняно з євро та фунтом стерлінгів. Максимальна норма прибутку у такому випадку буде дорівнювати ціні гри, тобто 97,525%. За теорією ігрового методу ціна гри задовольняє умову:

В нашому прикладі = 0,973188115 < 0,97525448 < 0,976816 = , отже можемо зробити висновки, що валютний ринок за рахунок своїх змішаних стратегій = (0; 0; 0; 0; 0,927624; 0; 0; 0,072376; 0; 0; 0) на 0,3629% (97,6816 – 97,3188115) протидіє отриманню першим гравцем якнайбільшого прибутку після розпорошення банківських заощаджень між цими двома валютами. Цей вплив є незначним, а тому можемо сказати, що отримана структура портфелю є оптимальною.