III Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Если А и В – 2 совместных события, то вероятность наступления одного из них имеет вид

РАилиВ = РА + РВ - РА * РВ (17.4)

Примеры: Автомобиль снабжен двумя противоугонными устройствами Рм = 0,9 Рэ = 0,8. Какова вероятность, что машину не угонят?

Рм или э = Рм + Рэ – Рм * Рэ = 0,9+0,8-0,9*0,8=1,7-0,72=0,98

Задача создания резерва запасов (пекарня).

Предприятие печет хлеб на продажу магазинам.

Себестоимость - Сп продукции составляет 2 рубля.

Цена продажи - Цп = 3 руб.

Априорная вероятность объема продаж приведена в таблице:

Спрос в тыс. руб.	10	12	14	16	18	Всего
Частота наступления спроса	5	10	15	15	5	50 дней
Рс = m/n	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1	Сумма =1

При объеме продаж М=10 тыс. изделий, объем выпуска N=10 тыс. изделий. При этом запаса сырья на складе достаточно чтобы произвести Зп = 10 тыс. изделий.

Требуется определить объём резерва запаса сырья, обеспечивающий максимальную выручку от продаж с минимальным риском.

Решение:

1. Строим матрицу доходов:

М/ N	10maxmin	12	14	16	18
10	10	6	2	-2	-6
12	10	12	8	4	0
14	10	12	14	10	6
16	10	12	14	16	12
18	10	12	14	16	18 maxmax

Д = М * Ц – С * N (17.5)

2) Строим матрицу потерь

М/ N	10	12	14	16	18
10	0	4	8	12	16
12	2	0	4	8	12
14	4	2	0	4	8
16	6	4	2	0	4
18	8	6	4	2	0

Сп = |M - N|*C (17.6)

Рассчитываем риск как произведение потерь на вероятность их наступления:

R=Сп*Р (Сп) (17.7)

Строим матрицу рисков:

N Рсп	10	12	14	16	18
0,1	0	0,4	0,8	1,2	1,6
0,2	0,4	0	0,8	1,6	2,4
0,3	1,2	0,6	0	1,2	2,4
0,3	1,8	1,2	0,6	0	1,2
0,1	0,8	0,6	0,4	0,2	0

Матрица рисков получена путем умножения вектора-столбца Рсп на квадратную матрицу М*N.

Из матрицы рисков можно рассчитать суммарные риски, по каждому столбцу матрицы рисков. ∑ Ri = 4,2; 2,8; 2,6; 4,2; 7,6 (17.8)

Из (17.8) видно, что минимальный риск = 2,6 тыс. изделий. Это риск недобора этих изделий при наличии запаса сырья на складе. Строим матрицу выручки В :

N / Рсп	10	12	14	16	18
0,1	1	0,6	0,2	-0,2	-0,6
0,2	2	2,4	1,6	0,8	0
0,3	3	3,6	4,2	3	1,8
0,3	3	3,6	4,2	4,8	3,6
0,1	1	1,8	1,4	1,6	1,8
	10	11.4	11.6	10	6.6

Матрица выручки находится путем умножения вектора столбца (Рсп) на матрицу доходов.

Вероят. = Рсп*Д (17.9)

Рассчитаем суммарную выручку по каждому столбцу:

∑в = 10; 11,4; 11,6; 10; 6,6

Суммарная выручка будет максимальна при запасах сырья на складе не менее, чем на изготовление 14 тыс. изделий. Максимальная выручка В = 11,6 тыс. от реализации может быть обеспечена с минимальным риском отклонений от этой выручки на 2,6 тыс.

игровые методы в задачах ведения переговоров в коалиционных и конкурентных конфликтах

В игровом подходе обычно используются следующие классы игр:

1.матричные 2.кооперативные 3.безкоалиционные 4.статистические 5.антогонистические

Перечисленные игры используют следующие понятия:

«Игра» - взаимодействие двух или более лиц (сторон), имеющих основную цель – разрешение конфликта.

Игра предназначена для выработки рекомендации по рациональному образу действий участников конфликта.

«Игра» – упрощенная модель конфликтной ситуации.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по вполне определенным правилам. В модели проводят ряд действий или «ходов» за игроков и в результате получают оценку (в деньгах, объем реализованной продукции).

Стороны, участвующие в конфликте обычно называют «игроками». Исход конфликта называют «выигрышем». Игру двух лиц называют «парной», разрешающей конфликт из их интересов.

Множественной называют игру столкновение интересов более двух игроков. Для анализа игры должны быть сформулированы правила игры и введена система условий, регламентирующая:

1)возможные варианты действий игроков.

2)объемы информации каждой из сторон о поведении другой.

3)результат игры, к которой приводит совокупность ходов.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой. Интересы игроков противоположны; развитие игры во времени представляется последовательностью ходов.

« Ходом» называется выбор одного из предусмотренного правилами игры действий и его реализация.

Ходы:

1)личные

2)случайные

Личные - сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление.

Случайные - выбор из ряда возможностей осуществляемый «механизмом» случайного выбора (бросание монеты).

Стратегией игрока называют совокупность правил выбора варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся на момент хода ситуации.

Количество стратегий может быть:

• конечным

• без конечным.

Игры: конечные, бесконечные.

Оптимальная стратегия – такая, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный среднестатистический выигрыш.

Модель игры – вспомогательный объект, описывающий механизм взаимодействия игроков.

Наиболее часто используются матричные игры.

В такой игре полагают, что игрок A имеет m-стратегий, а игрок B имеет n-стратегий. Такая игра называется m x n.

Стратегии: А1; А2…Аm – для игрока А.

В1; В2…Вn - для игрока В.

Е сли игра состоит из личных ходов, то выбор стратегий Аi и Вj однозначно определяет исход игры – выигрыш aij для всех сочетаний стратегий, то они образуют платежную матрицу, имеющую вид:

Вj Аi	В1	В2	…	Вj	…	Вn	α
А1	a11	a12	…	а1j	…	а1n	α1
А2	a21	a22	…	а2j	…	a2n	α2
…	…	…	…	…	…	…	…
Аi	аi1	аi2	…	aij	…	ain	αi
…	…	…	…	…	…	…	…
Аm	am1	am2	…	amj	…	amn	αm
β	β1	β2	…	βj	…	βn	…

нижняя граница цены игры

верхняя граница цены игры

α и β – платежные матрицы: значения причин α и β носят характер оценки игры для игроков А и В.

В правом верхнем углу матрицы значение α формирует нижнюю цену игры; в левом нижнем углу – верхнюю цену игры.

В общем случае, верхняя и нижняя цены игры имееют вид:

α ═ max αi ═ max min aji нижняя цены игры

β ═ min βj ═ min max aij верхнюю цену игры (18.1)

В тех случаях, когда выражение 18.1 α ═ β игра имеет седловую точку, то есть элементы матрицы (opt).

Элемент матрицы является одновременно min в своей строке и max в своем столбце.

Общее значение цены игры при α ═ β называется чистой ценой игры.

Седловой точке соответствует пара стратегий сторон (Аi,Вj), которые являются оптимальными.

Совокупность этих стратегий называется решением игры в чистых стратегиях, в случае α ≠ β.

Смешанные стратегии – такие, которые получаются путем случайного чередования чистых стратегий.

Смешанные стратегии стороны А обозначают:

s*A ( P1, P2 …Pm) (18.2)

P1, P2, Pm –вероятности, с которыми применяются стратегии А1,А2…Аm соответственно.

∑Pi = 1

i=1

s*B (q1,q2…qn) (18.3)

∑i = qi = 1

j=1

Смешанные стратегии в результате дают пару оптимальных стратегий s*A и s*B и применительно к игре “2 х 2”.

P 1 = a22 - a21)

(a 11 + a22) – (a12+ a21)

P2=1-P1 (18.4)

q 1= a22 - a12

(a 11+ a22) – (a12+ a21)

q2 =1-q1 (18.5)

В этом случае чистая цена игры γ:

γ = a22 *a21 - a12 *a21

(a 11 + a22) – (a12+ a21)

Игра “2 х 2” имеет решение, которое можно получить в геометрической интерпретации.

Правила графического представления результатов игры:

1. На отрезке оси абцисс, длина которого =1 обозначим стратегию А1, а на правом – А2.

В промежуточной точке участка обозначаются смешанные стратегии стороны А.

2. Через точки А1, А2 проводят перпендикуляры к оси Х

Оси I, I и II, II.

На оси I, I откладывают выигрыши, при стратегии А1.

На оси II, II выигрыши при стратегии А2.

3. Стратегия противника В1 дает на осях I, I, II, II точки с координатами a11 и a21; А стратегия В2 - a12 и a22.

4. Ордината точки N пересечения стиратегий В1 и В2 дает величину выигрыша γ – цену игры.

Абцисса точки N дает вероятность обеих стратегий P1 и P2, которые равны расстоянию от точки s*A до правого и левого конца отрезка А1 и А2 соответственно. Нижняя (гарантированная) граница выигрыша выделена жирной линией.

I II

В2 В1

N

a 12

γ a21

a11 a22

I А1 P2 s*A P1 А2 II

Задача

Банк хочет купить акции некоторого А.О.; стремясь сделать покупку выгоднее банк снабжает А.О. информацией, которая может восприниматься:

правдивой - А1 и ложной - А2 .

А.О. может как проверить информацию - В1, так и не проверить – В2.

В такого класса задачах платежные матрицы игры обычно отражают величину прироста стоимости для успешной сделки для банка по отношению к вложенным средствам.