29.Линейные операторы и матрицы

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и записывают y=A(x).

Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

Выберем в пространстве базис

и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

В силу линейности оператора получим:

т.к так же вектор из ,то его можно разложить по базису.

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг r матрицы А - рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: Всякой матрице n-го порядка соответствует оператор n-мерного пространства.

Определим действия над линейными операторами:

1. Суммой двух линейных операторов и называется оператор определяемый

равенством

2. Произведением линейного оператора на число λ называется оператор

определяемый

Произведением линейных операторов и называется оператор

определяемый

Определим нулевой оператор переводящий все векторы пространства в нулевые вектора

и тождественный оператор действующий по правилу

Теорема Матрицы А и А* линейного оператора в базисах е₁,е₂, ..е_n и е₁^*,е₂^*, ..е_n^* связаны соотношением А*=С^-1АС, где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

30.Собственные векторы линейных операторов

Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

Выберем в пространстве базис и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

В силу линейности оператора получим:

т.к так же вектор из ,то его можно разложить по базису

Матрица называется матрицей оператора в базисе

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Иначе: Всякой матрице n-го порядка соответствует оператор n-мерного пространства.

Связь между вектором х и его образом можно выразить в матричной форме:

где А - матрица линейного оператора

действия над линейными операторами:

1. Суммой двух линейных операторов и называется оператор определяемый

равенством 2. Произведением линейного оператора на число λ называется оператор определяемый

Произведением линейных операторов и называется оператор определяемый

Определим нулевой оператор переводящий все векторы пространства в нулевые вектора и тождественный оператор действующий по правилу

Теорема Матрицы А и А* линейного оператора в базисах е₁,е₂, ..е_n и е₁^*,е₂^*, ..е_n^* связаны соотношением А*=С^-1АС, где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пусть L — линейное пространство над полем K,   — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого 

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число  , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение  .

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа   называется множество всех собственных векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_λ. По определению,

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения   называется такой ненулевой вектор  , что для некоторого натурального числа m

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть  ), то m называется высотой корневого вектора x.

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа   называется множество всех корневых векторов  , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его V_λ. По определению,

где