14.Определенный интеграл,основные теоремы

Определение: определенным интегралом от непрерывной функции у=f(х) на отрезке (а,в) называют приращение какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке.

Теорема о среднем: если функция у=f(х) непрерывна на отрезке (а,в), где а больше в, то всегда найдется такое значение Е принадлежащие отрезку (а,в), что интеграл от а до в , будет представлен в виде

b

∫f(x)dx=f(E)(b-a)

a

Теорема Ньютона-Лейбница: пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке (а,в) и F(х) – первообразная функции f(х) на отрезке (а,в), тогда определенный интеграл для функции у=f(х) на отрезке (а,в) равен приращению первообразной F(х) на отрезке (а,в)

b

∫f(x)dx=F(b)-F(a)

a

К понятию определенного интеграла можно прийти при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции АВСD (рис.1).

В математике предел данной суммы называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается символом т.е.

Определенным интегралом называется предел n-ой интегральной суммы при

Геометрический смысл определенного интеграла: это площадь криволинейной трапеции, ограниченной слева прямой х=а, справа прямой x=b, сверху кривой y=f(x),снизу осью Ох.

Свойства определенного интеграла:написать

Теорема о среднем. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда найдется такая точка

что

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на интервале [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом интервале, т. е.

Формула (1) – формула Ньютона-Лейбница. Она утверждает, что определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции (неопределенный интеграл) и из значения первообразной при верхнем приделе вычесть значение первообразной при нижнем пределе интегрирования

15.методы интегрирования:интегрирование подстановкой,интегрирование по частям,интегрирование рациональной дроби

Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g( z)dz. Поэтому  f(х) dx =  f [g(z)] g(z) dz = Ф (z) +С = Ф [g^-1(х)] + С.

Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:  udv = uv -  vdu.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям и позволяет свести данный интеграл к более простому.

Пример:

Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде отношения двух многочленов. Например, если R(x) — рациональная функция одной переменной x, то

Здесь индексы у   Pm(x)   и   Qn(x)   указывают степени этих многочленов.

Многочлены являются рациональными функциями (у них знаменатели тождественно равны единице). Если рациональная функция не является многочленом, то она называется дробной.

Рациональная функция называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильной, если степень многочлена в числителе больше либо равна степени многочлена в знаменателе.

Неправильная рациональная функция представима в виде

где Lm − n — многочлен степени (m − n) , называемый целой частью рациональной функции. Он находится путем деления многочлена Pm на Qn . Многочлен Us — остаток при этом делении.

При интегрировании рациональных функций используется следующая теорема о разложении рациональной функции:

Теорема Правильную рациональную функцию одной переменной x можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей

где A , M , N , a , p , q — действительные числа и k — натуральные числа.

В этой сумме каждому действительному нулю a кратности k знаменателя Qn(x) соответствуют k слагаемых

Каждой паре комплексно сопряженных нулей кратности k знаменателя Qn(x) (являющихся нулями квадратного трехчлена x2 + 2px + q ) соответствуют k слагаемых

Представление правильной рациональной функции в виде суммы элементарных дробей называется разложением на элементарные дроби.

Коэффициенты элементарных дробей, фигурирующих в разложении, однозначно определяются условием тождественности правильной рациональной функции и ее разложения.

Интегрирование методом разложения.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы или других методов.

Например  (х³ + 3sinx – 8) dx =  х³ dx + 3sinx dx – 8dx =< используя формулы из таблицы>= х⁴/4  3 cos x – 8 х + С.

Интегрирование методом замены переменных.

Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g( z)dz. Поэтому

 f(х) dx =  f [g(z)] g( z)dz = Ф (z) +С = Ф [g^-1(х)] + С.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:

 udv = uv -  vdu.

Интегрирование рациональной дроби

Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x²+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p²/4>0.

П ри этом справедлива следующая теорема: Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

• Интегрирование методом разложения.

• Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, от каждой из которых первообразную можно найти с помощью таблицы или других методов.

• Например ò (х3 + 3sinx – 8) dx = ò х3 dx + 3òsinx dx – 8òdx =< используя формулы из таблицы>= х4/4 - 3 cos x – 8 х + С.

• Интегрирование методом замены переменных.

• Интегрирование этим методом заключается в приведении данного интеграла к новому путем замены переменной интегрирования х на новую переменную z. Пусть х = g(z), тогда dx = g¢( z)dz. Поэтому

• ò f(х) dx = ò f [g(z)] g(z) dz = Ф (z) +С = Ф [g-1(х)] + С.

• Интегрирование по частям.

• Пусть u(x) и v(x) – две функции от х, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула:

• ò udv = uv - ò vdu.

• Эта формула называется формулой интегрирования по частям и позволяет свести данный интеграл к более простому

• Пример

• Интегрирование рациональной дроби

• Задача интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

• Здесь, β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x2+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p2/4>0.

• При этом справедлива следующая теорема:

• Теорема. Всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

• Действительно, если произвести подстановку t=x-b, то дроби первого и второго типа будут интегрируемы в элементарных функциях т. е.

• Квадратные трехчлены третьей и четвертой дробей можно представить в виде (x2+px+q)=(x+p/2)2+(q-p2/4) и, учитывая, что (q-p2/4)>0, ввести вещественную постоянную и сделать подстановку t=x+p/2, тогда задача интегрирования может быть решена с использованием известных формул интегрирования.