
- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •Необходимость
- •Достаточность
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •15 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос
- •Свойства подпространств
- •18 Вопрос
- •19 Вопрос
- •20 Вопрос Изоморфизм
- •21 Вопрос
- •22 Вопрос
- •23 Вопрос
- •24 Вопрос
- •Свойства
- •25 Вопрос
- •Квадратичная форма а называется:
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Свойства подпространств
Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств
определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki:
Любое подпространство непревосходит размерность пространства
Подпространство содержит нулевой элемент пространства
Линейная оболочка
Линейная
оболочка
подмножества
X
линейного пространства L —
пересечение всех подпространств L,
содержащих X.
Линейная оболочка является подпространством L.
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X. Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X.
Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X. В частности, если X — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов X.
Если X — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.
18 Вопрос
Евклидово пространство — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.
Обычно
n-мерное евклидово пространство
обозначается
Будем
говорить, что в вещественном пространстве
определено скалярное произведение,
если каждой паре векторов
поставлено в соответствие действительное
число, которое обозначим через
причем это соответствие обладает
следующими свойствами (удовлетворяет
следующим аксиомам):
1
,
т.е. скалярное произведение симметрично.
2
3
(дистрибутивность скалярного произведения).
4
Скалярное произведение вектора с самим
собой неотрицательно:
,
и обращается в нуль, лишь если
Аффинное
пространство, в котором определено
скалярное произведение, удовлетворяющее
условиям 1
-4
,
мы называем евклидовым.
Длина вектора в Евклидовом пространстве:
Длиной
вектора
в евклидовом пространстве называется
число
Длину
вектора
будем
обозначать через
.
Угол между векторами в евклидовом пространстве:
Углом
между векторами
и
мы
назовем число
т.е.
положим
Векторы
называются ортогональными,
если угол между ними равен
,
т.е. если
. Неравенство Коши-Буняковского
В предыдущем пункте у нас остался пробел. Мы определили угол между векторами и формулой
Для того чтобы можно было определить из этого равенства, нужно доказать, что
или,
что то же самое, что
т.е.
Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.
19 Вопрос
базис в евклидовой плоскости и пространстве:
Любой декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве (также и в пространстве другой размерности) может быть сопоставлен базис, состоящий из векторов, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси. Это относится и к прямоугольным декартовым координатам (тогда соответствующий базис называется ортогональным), так и к косоугольным декартовым координатам (которым будет соответствовать неортогональный базис).
Часто удобно выбрать длину (норму) каждого из базисных векторов единичной, такой базис называется нормированным.
Наиболее часто базис выбирают ортогональным и нормированным одновременно, тогда он называется ортонормированным.
при этом операция подчиняется аксиомам:
для
; 2.
для
; 3.
для
; 4.
для
,
.
Теорема:
Теорема.
Если ненулевые векторы
попарно
ортогональны, то они линейно независимы.
Доказательство. В самом деле, если
то,
домножив это равенство скалярно на
,
получим
Поскольку
для
,
то
,
откуда
.
Аналогично показывается, что и все
остальные
равны
0. ♦
Задача.
Пусть имеется произвольная система
линейно
независимых векторов. Требуется построить
систему ортогональных векторов
такую,
чтобы линейные
оболочки любых подсистем
совпадали:
Иными
словами, вектор
должен
линейно зависеть от
,
вектор
должен
линейно выражаться через
,
—
через
и
т.д.
Алгоритм ортогонализации Грама - Шмидта
В
случае
возьмем
:
поскольку вектор
входит
в линейно независимую систему , то
.
Далее, будем искать
в
виде
при
пока неопределенном коэффициенте
.
Очевидно, что при таком выборе
условие
будет
выполнено. Подберем
так,
чтобы выполнялось
.
Таким
образом, коэффициент
,
а вместе с ним и вектор
определяются
единственным образом. При этом
,
ибо, в противном случае, векторы
и
были
бы л.з., что противоречит
предположению о л.н.з. системы
.
Продолжаем процесс далее: вектор
ищем
в виде
при
пока неопределенных коэффициентах
и
.
Условие
выполняется
поскольку
Подберем
скаляры
и
так,
чтобы выполнялось
и
.
Два этих условия задают систему линейных
уравнений
Процесс
продолжается далее аналогично. Допустим,
что векторы
уже
построены, они ненулевые, попарно
ортогональные и
Вектор
ищем
в виде:
при
пока неопределенных коэффициентах
.
Условие
выполнено
и, кроме того,
(в
противном случае
,
т.е. система
л.з.
Коэффициенты
подбираются
из условий
.
Получающаяся система линейных уравнений
имеет единственное решение
это решение определяет единственный вектор . ♦
Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы
Линейное
пространство
называется
евклидовым,
если каждой паре векторов
,
из
этого пространства поставлено в
соответствие действительное число
,
называемое скалярным
произведением,
и при этом для любых
из
и
любого действительного числа
справедливы
следующие равенства:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
при
,
,
-- нулевой вектор.
Число
называется
длиной
вектора
; число
--
расстоянием
между векторами
;
угол
, косинус
которого
,
-- углом
между векторами
,
,
,
.
Векторы
,
из евклидова пространства
называются
ортогональными,
если
.
Система
векторов
евклидова
пространства называется ортонормированной,
если векторы системы попарно ортогональны
и имеют единичную длину.
Базис
конечномерного евклидова пространства
называется ортонормированным
базисом,
если образующие его векторы попарно
ортогональны и имеют единичную длину.
Поскольку доказано, что в
любом конечномерном евклидовом
пространстве существует ортонормированный
базис,
будем рассматривать в
-мерном
евклидовом пространстве
только
ортонормированные базисы.
Простейший
пример евклидова пространства дает нам
пространство
--
пространство столбцов, в котором
скалярное произведение введено формулой
.
Тогда
для любых
,
из
справедливы
формулы:
Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство .
Величины
,
и
характеризуют
взаимное расположение векторов и не
зависят от выбранного ортонормированного
базиса.
Если
и
--
два ортонормированных базиса в
-мерном
евклидовом пространстве, то матрица
перехода от одного из этих базисов к
другому -- ортогональная матрица.