
- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •Необходимость
- •Достаточность
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •15 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос
- •Свойства подпространств
- •18 Вопрос
- •19 Вопрос
- •20 Вопрос Изоморфизм
- •21 Вопрос
- •22 Вопрос
- •23 Вопрос
- •24 Вопрос
- •Свойства
- •25 Вопрос
- •Квадратичная форма а называется:
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду
24 Вопрос
Характеристический многочлен:
Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.
Для данной матрицы A, χ(λ) = det(A − λE), где Е — единичная матрица, является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).
Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение Av = λv имеет не нулевое решение, то (A − λE)v = 0, значит матрица A − λE вырождена и ее определитель det(A − λE) = χ(λ) равен нулю.
Матрицу A − λE называют характеристической матрицей матрицы А.
Уравнение χ(λ) = 0 называют характеристическим уравнением матрицы A.
Свойства
Для матрицы
, характеристический многочлен имеет степень n.
Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
Теорема Гамильтона — Кэли: если χ(λ) — характеристический многочлен матрицы A, то χ(A) = 0.
Характеристические многочлены подобных матриц совпадают:
.
Если A и B — две -матрицы, то
. В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).
В более общем виде, если A —
-матрица, а B —
-матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то
.
1) Х. у. матрицы — характеристическое уравнение матрицы
<>
определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы (См. Матрица) А = ||aik||n1 вычитанием величины λ из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х
характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:
где
S1
= a11
+ a22
+... ann
— т. н. след матрицы, S2
— сумма всех главных миноров 2-го порядка,
т. е. миноров вида
i
< k)
и т.д., а Sn
— определитель матрицы А.
Корни Х. у. λ1,
λ2,...,
λn
называются собственными значениями
матрицы А.
У действительной симметричной матрицы,
в случае действительной ортогональной
матрицы, а также унитарной матрицы все
|λk|
= 1.
25 Вопрос
Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве.
Число называется собственным значением, а ненулевой вектор X - соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением A x = x .
Пусть A матрица оператора в некотором базисе.
Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (A - E ) x = 0 , где E - единичная матрица, а 0 - нулевой элемент пространства X. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (A - E ) x = 0 , которое существует тогда и только тогда, когда det (A - E ) = 0 . Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения det (A - E ) = 0 , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.
Уравнение det (A - E ) = 0 называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det (A - E ) характеристическим многочленом оператора.
Свойства векторов:
характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом n-й степени относительно ;
линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;
если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве X, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве X; этот базис называют собственным базисом оператора;
матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.
Пример:
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
.
Составим характеристическое уравнение матрицы А:
Найденное собственное значение линейного преобразования подставим в систему уравнений
где
–
собственный вектор.
Тогда
,
где t – любое, отличное от нуля, действительное число.
Следовательно,
(собственное
направление).
26 вопрос
У нас был реферат по этому вопросу
27 вопрос
28 вопрос
29 вопрос
30 вопрос
Квадратичные формы:
Квадратичной
формой
от
n
неизвестных
называется
сумма, каждое слагаемое которой является
или квадратом одного из этих неизвестных,
или произведением двух разных неизвестных.
Обозначая
коэффициент при
через
,
а при произведении
–
через
,
квадратичную форму Q
можно представить в виде
.
Симметричная
матрица
называется
матрицей
квадратичной формы Q.
квадратичная форма
А
Рангом квадратичной формы А называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.
Для
каждой квадратичной формы
А
можно
подобрать такое линейное преобразование
неизвестных
с
ортогональной матрицей S
(квадратная
матрица S
называется ортогональной,
если
),
что матрица квадратичной формы
будет
диагональной, т. е. квадратичная форма
приводится к сумме квадратов
.
(8.1)