Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
алгебра и геометрия1.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
25.04.2019
Размер:
1.03 Mб
Скачать

24 Вопрос

Характеристический многочлен:

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Для данной матрицы A, χ(λ) = det(A − λE), где Е — единичная матрица, является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение Av = λv имеет не нулевое решение, то (A − λE)v = 0, значит матрица A − λE вырождена и ее определитель det(A − λE) = χ(λ) равен нулю.

  • Матрицу A − λE называют характеристической матрицей матрицы А.

  • Уравнение χ(λ) = 0 называют характеристическим уравнением матрицы A.

Свойства

  • Для матрицы , характеристический многочлен имеет степень n.

  • Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.

  • Теорема Гамильтона — Кэли: если χ(λ) — характеристический многочлен матрицы A, то χ(A) = 0.

  • Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: .

  • Если A и B — две -матрицы, то . В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).

  • В более общем виде, если A -матрица, а B -матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то

.

1) Х. у. матрицы — характеристическое уравнение матрицы

         <>

      

  определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы (См. Матрица) А = ||aik||n1 вычитанием величины λ из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х

характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

        

        где S1 = a11 + a22 +... ann — т. н. след матрицы, S2 — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида i < k) и т.д., а Sn — определитель матрицы А. Корни Х. у. λ1, λ2,..., λn называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |λk| = 1.

25 Вопрос

Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор X - соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением A x =  x .

Пусть A матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (A - E ) x = 0 , где E -  единичная матрица, а 0 - нулевой элемент пространства X. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (A - E ) x = 0 , которое существует тогда и только тогда, когда det (A - E ) = 0 . Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения det (A - E ) = 0 , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение det (A - E ) = 0  называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det (A - E )  характеристическим многочленом оператора.

Свойства векторов:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;

собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве X, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве X; этот базис называют собственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

.

Составим характеристическое уравнение матрицы А:

Найденное собственное значение линейного преобразования подставим в систему уравнений

где  – собственный вектор.

Тогда

,

где t – любое, отличное от нуля, действительное число.

Следовательно,   (собственное направление).

26 вопрос

У нас был реферат по этому вопросу

27 вопрос

28 вопрос

29 вопрос

30 вопрос

Квадратичные формы:

Квадратичной формой  от n неизвестных  называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при  через , а при произведении    – через , квадратичную форму Q можно представить в виде

      .

Симметричная матрица  называется матрицей квадратичной формы Q.

квадратичная форма А

Рангом квадратичной формы А  называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Для каждой квадратичной формы А  можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных  с ортогональной матрицей S (квадратная матрица S называется ортогональной, если ), что матрица квадратичной формы  будет диагональной, т. е. квадратичная форма приводится к сумме квадратов

          .  (8.1)