
- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •Необходимость
- •Достаточность
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •15 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос
- •Свойства подпространств
- •18 Вопрос
- •19 Вопрос
- •20 Вопрос Изоморфизм
- •21 Вопрос
- •22 Вопрос
- •23 Вопрос
- •24 Вопрос
- •Свойства
- •25 Вопрос
- •Квадратичная форма а называется:
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду
22 Вопрос
Линейные преобразования пространства:
Пусть
каждому вектору
-мерного
пространства поставлен в соответствие
вектор
этого
же пространства. Функцию
мы
назовем преобразованием пространства
.
Преобразование
называется
линейным, если выполнены следующие
условия:
1
,
2
.
Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.
Определение линейного оператора
Преобразование
(оператор, отображение) f
линейного пространства в себя (запись
)
называется линейным, если:
Условия 1 и 2 равносильны соотношению
Матрица линейного оператора
Матрица
линейного оператора
в
базисе (
)
- матрица
столбцами
которой являются столбцы образов
базисных векторов
оператора
f,
т. е.
Линейный
оператор называется невырожденным,
если
Связь между координатами вектора и его образа
Если
в
базисе (
)
имеет координатный столбец
-
линейный оператор с матрицей A
в данном базисе,
-
координатный столбец вектора
,
то Y
= AX
(употребляется также запись
).
Более подробно:
Связь между матрицами одного и того же линейного оператора в разных базисах
Если
в базисе
линейный
оператор
имеет
матрицу A,
в базисе
-
матрицу B,
а S
- матрица перехода от первого базиса ко
второму, то
23 Вопрос
Пусть
А
и В
– два линейных оператора, действующих
из V
в W.
Суммой
этих операторов назовем оператор А
+ В,
определяемый равенством (А
+ В)
А
+В
для
любого
из
V.
Легко видеть, что сумма линейных
операторов тоже будет линейным оператором.
Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. А + В = В +А.
2. (А +В) +Е = А + (В + Е).
3. А + О = А для любого А.
4. (–А) + А = О.
Произведением
линейного оператора на скаляр
α
назовем оператор αА,
определяемый равенством
А)
А
.
Ясно, что αА
– тоже линейный оператор.
Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:
1.
А
= А;
0А
=
О;
(–1)А=
–А.
2.
βА)
А.
3.
А
=
А
+ βА.
4. (А + В) = А + В.
Обозначим
через
множество
всех линейных операторов, действующих
из V
в
W.
Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В для любого из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:
1. АВ) = ( А )В.
2. (АВ)Е = А (ВЕ).
3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.
Матричная запись:
Выберем
в пространстве V
базис
.
Пусть
–
произвольный элемент из V
и
–
разложение
по
данному базису. Пусть А
– линейный оператор из
.
Тогда А
А
.
Полагая,
А
(7.1)
получим
А
Таким
образом, если
А
и
элемент
имеет
координаты
,
то
(7.2)
Рассмотрим
квадратную матрицу А
с элементами
:
Эта
матрица называется матрицей
линейного оператора в заданном базисе
.
Наряду
с ранее указанным способом записи
линейного оператора А
используется,
при заданном базисе
,
следующая матричная форма:
,
причем, если
,
то
,
где
,
,
определяется с помощью соотношения
(7.2), а элементы
матрицы
А
определяются по формулам (7.1).
(на фотографии ниже записи « c - линейный оператор » также идёт иная запись матричной формы ; по крайней мере очень на это похоже)