Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
алгебра и геометрия1.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
25.04.2019
Размер:
1.03 Mб
Скачать

8 Вопрос

обратная матрица – это матрица при умножении на которую исходной матрицы получится матрица все элементы главной диагонали которой равны 1(единичная)

Свойства обратной матрицы:

  • , где обозначает определитель.

  • для любых двух обратимых матриц A и B.

  • где * T обозначает транспонированную матрицу.

  • для любого коэффициента .

  • Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема существования обратной матрицы:

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

9 Вопрос

Решение матричных уравнений:

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

Решение систем уравнений матричным методом:

Общий вид системы

 Матричная запись системы линейных уравнений

AX = B, где

Метод Крамера:

Введем следующие обозначения. Пусть ,  -- определитель матрицы, полученной из матрицы заменой столбца с номером на столбец свободных членов, : Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

10 Вопрос

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Свойства ранга:

  1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

  2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

  3. Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

Линейная независимость и зависимость столбцов и строк матрицы:

Дана матрица  размера Обозначим строки матрицы следующим образом:

Строка  называется линейной комбинацией строк  матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):

Строки матрицы  называются линейно зависимыми, если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

Теорема о базисном миноре:

В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.