
- •1 Вопрос
- •2 Вопрос
- •3 Вопрос
- •4 Вопрос
- •5 Вопрос
- •6 Вопрос
- •7 Вопрос
- •8 Вопрос
- •9 Вопрос
- •10 Вопрос
- •11 Вопрос
- •Необходимость
- •Достаточность
- •12 Вопрос
- •13 Вопрос
- •14 Вопрос
- •15 Вопрос
- •16 Вопрос
- •17 Вопрос
- •Свойства подпространств
- •18 Вопрос
- •19 Вопрос
- •20 Вопрос Изоморфизм
- •21 Вопрос
- •22 Вопрос
- •23 Вопрос
- •24 Вопрос
- •Свойства
- •25 Вопрос
- •Квадратичная форма а называется:
- •Приведение квадратичной формы к каноническому виду
8 Вопрос
обратная матрица – это матрица при умножении на которую исходной матрицы получится матрица все элементы главной диагонали которой равны 1(единичная)
Свойства обратной матрицы:
, где
обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента
.
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.
Теорема существования обратной матрицы:
Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Матрица
А = (А1, А2,...Аn)
называется невырожденной,
если векторы-столбцы являются линейно
независимыми. Число линейно независимых
векторов-столбцов матрицы называется
рангом матрицы
.
Поэтому можно сказать, что для того,
чтобы существовала обратная матрица,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы равнялся ее размерности, т.е. r
= n.
9 Вопрос
Решение матричных уравнений:
Матричные уравнения могут иметь вид:
АХ = В, ХА = В, АХВ = С,
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.
Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.
Например,
чтобы найти матрицу
из
уравнения
,
необходимо умножить это уравнение на
слева.
Тогда:
Следовательно,
чтобы найти решение
уравнения
,
нужно найти обратную матрицу
и умножить ее на матрицу
,
стоящие в правой части уравнения.
Решение систем уравнений матричным методом:
Общий вид системы
Матричная запись системы линейных уравнений
AX = B, где
Метод Крамера:
Введем
следующие обозначения. Пусть
,
--
определитель матрицы, полученной из
матрицы
заменой
столбца с номером
на
столбец
свободных
членов,
:
Если
в системе
линейных
уравнений с
неизвестными
,
то система имеет решение и притом
единственное. Это решение задается
формулами
10 Вопрос
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Свойства ранга:
базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
Пусть
, тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
Линейная независимость и зависимость столбцов и строк матрицы:
Дана
матрица
размера
Обозначим строки матрицы следующим
образом:
Строка
называется
линейной комбинацией строк
матрицы,
если она равна сумме произведений этих
строк на произвольные действительные
числа
(любые
числа):
Строки
матрицы
называются
линейно
зависимыми,
если существует такие числа
,
не равные одновременно нулю, что линейная
комбинация строк матрицы равна нулевой
строке:
Теорема о базисном миноре:
В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.